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南开中学2024届高三第四次月检测
数学学科试卷
考试时间：120分钟
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，共150分．考试结束后，请交回答题卡．
第Ⅰ卷
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．设全集，集合，，则（???）
A． B． C． D．
2．若x，，则“”的一个必要不充分条件可以是（???）
A． B． C． D．
3．已知，，，则a，b，c的大小关系是（???）
A． B． C． D．
4．函数图象如图所示，则函数的解析式可能是（????）
A． B．
C． D．
5．某市为了解全市12000名高一学生的体能素质情况，在全市高一学生中随机抽取了1000名学生进行体能测试，并将这1000名的体能测试成绩整理成如下频率分布直方图．根据此频率分布直方图，下列结论中正确的是（???）
A．图中a的值为0.020
B．同一组中的数据用该组区间的中点值做代表，则这1000名学生的平均成绩约为81.5
C．估计样本数据的75%分位数为88
D．由样本数据可估计全市高一学生体测成绩优异（80分及以上）的人数约为7200人
6．截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角而得到．如图所示，将棱长为6的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面截角得到所有棱长均为2的截角四面体，则该截角四面体的体积为（???）
A． B． C． D．
7．已知等比数列的前项和为，．在与之间插入个数，使这个数组成一个等差数列，记插入的这个数之和为，的值为（???）
A．240 B．360 C．480 D．560
8．抛物线上的点到其焦点的距离是M到y轴距离的2倍，过双曲线C：的左右顶点A、B作C的同一条渐近线的垂线，垂足分别为P、Q，，则双曲线的离心率为（???）
A．2 B． C． D．
9．已知函数，则下列结论中正确个数为（????）
①若对于任意，都有成立，则
②若对于任意，都有成立，则
③当时，在上单调递增，则的取值范围为
④当时，若对任意的，函数在至少有两个零点，则的取值范围为
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）．
10．设为虚数单位，复数的实部与虚部的和为，则．
11．的展开式中常数项为．
12．直线l：与圆C：交A，B两点，若为等边三角形，则a的值为．
13．假设某市场供应的灯泡中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂产品的合格率为90%，乙厂产品的合格率为80%，在该市场中购买甲厂的两个灯泡，则均合格品的概率为；若在该市场中随机购买两个灯泡，则这两个灯泡恰有一个是合格品的概率为．
14．在中，已知是斜边上一动点，点满足，若，若点在边所在的直线上，则的值为；的最大值为.
15．，若有且只有两个零点，则实数的取值范围是．
三、解答题（本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
16．已知a，b，c分别是的内角A，B，C的对边，且．
(1)求．
(2)若，的面积为，求的周长．
(3)在（2）的条件下，求的值．
17．如图，四棱台中，上、下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，，E，F分别为DC，BC的中点，上下底面中心的连线垂直于上下底面，且与侧棱所在直线所成的角为45°．
(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离；
(3)边BC上是否存在点M，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出线段BM的长；若不存在，请说明理由．
18．已知椭圆C：，若椭圆的焦距为4且经过点，过点的直线交椭圆于P，Q两点．
(1)求椭圆方程；
(2)求面积的最大值，并求此时直线的方程；
(3)若直线与x轴不垂直，在x轴上是否存在点使得恒成立？若存在，求出s的值；若不存在，说明理由．
19．已知数列满足：，正项数列满足：，且，，．
(1)求，的通项公式；
(2)已知，求：；
(3)求证：．
20．已知函数．（注：是自然对数的底数）．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，函数在区间内有唯一的极值点．
①求实数a的取值范围；
②求证：在区间内有唯一的零点，且．
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1．B
【分析】根据并集、补集的定义求解即可
【详解】，
又，所以，又，
故选：B
2．A
【分析】由必要不充分条件的意义和指数函数的性质逐一判断即
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