期末难点特训（一） 和相似综合有关的压轴题（解析版）

期末难点特训一（和相似综合有关的压轴题）

1．已知四边形ABCD是边长为1的正方形，点E是线段BC上的动点，以AE为直角边在直线BC

的上方作等腰直角三角形AEF，∠AEF＝90°，EF交CD于点P，AF交CD于点Q，连结CF，设

BE＝m．

1

(1)如图，当m=时，求线段CF的长；

3

(2)当点E在BC线段上（不含B、C）运动时，∠QEF与∠CEF是否相等？请说明理由；

(3)在（2）的条件下，请你求出点P到QE的距离h，用含m的代数式表示h，并求h的最大值．

2

(1)CF

【答案】=

3

(2)相等，理由见解析

1

(3)hm2+mh

＝﹣，最大值为

4

1CFFFG⊥BCBCGAAS△ABE≌△EGF

【分析】（）连接，过点作，交的延长线于点，利用证明，

1

BEFGABEGBEFGCG

得＝，＝，则＝＝＝，从而得出答案；

3

（2）延长EB，使BM＝DQ，连接AM，首先由SAS证明△ABM≌△ADQ，得AM＝AQ，再利用SAS

证明△QAE≌△MAE，得∠AEM＝∠AEQ，得出∠BAE＝∠QEF，从而证明结论；

1m1

3△ABE∽△ECP=hPCm2+mm

（）利用两个角相等，证明，得，则＝＝﹣＝﹣（﹣）

1-mPC2

1

2

+，利用二次函数的性质即可得出答案．

4

(1)

解：连接CF，过点F作FG⊥BC，交BC的延长线于点G，如图3，

∵AE＝EF，∠AEF＝90°，

∴∠AEB+∠FEG＝90°，

∵∠AEB+∠BAE＝90°，

∴∠BAE＝∠FEG，

∴△ABE≌△EGF（AAS），

∴BE＝FG，AB＝EG，

1

∴BEFGCG=

＝＝，

3

2

∴CF=；

3

(2)

证明：相等，

理由如下：

延长EB，使BM＝DQ，连接AM，如图4，

∵AB＝AD，∠ABM＝∠ADQ＝90°，BM＝DQ，

∴△ABM≌△ADQ（SAS），

∴AM＝AQ，

∴∠BAM＝∠DAQ，

∴∠EAM＝∠QAE，AE＝AE，

∴△QAE≌△MAE（SAS），

∴∠AEM＝∠AEQ，

∵∠AEB+∠BAE＝90°，∠AEQ+∠QEF＝90°，

∴∠BAE＝∠QEF，

∵∠BAE＝∠CEF，

∴∠QEF＝∠CEF；

(3)

解：∵∠QEF＝∠

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