第2章--解析函数

*第二章解析函数§1解析函数的概念§2函数解析的充要条件§3初等函数目录第二章解析函数§1解析函数的概念1.复变函数的导数与微分(1)导数的定义存在，则称函数f(z)在z0处可导(可微)，称该极限值为f(z)在z0处的导数(微商)，记作定义2.1.1设G是复平面上的开集，ω=f(z)在G内有定义，z0+Δz∈G，如果极限(2)求导法则2.解析函数的概念定义2.1.2若函数ω=f(z)在点z0的邻域内处处可导，则称函数ω=f(z)在点z0处解析；若函数ω=f(z)在区域D内处处可导，则称函数ω=f(z)在区域D内解析，或称f(z)是区域D内的解析函数。若ω=f(z)在点z0不解析，则称点z0为ω=f(z)的奇点。应当注意，就个别点来说，可导与解析是两个不同的概念，但就区域而言，可导与解析则是等价的概念。由导数的运算法则和解析函数的定义，容易得到下述结论：定理2.1.1两个解析函数的和、差、积、商(分母不为零)及复合函数仍然解析，有理分式函数(其中P(z)、Q(z)都是多项式)，除去使Q(z)=0的点外处处解析。§2函数解析的充要条件定理2.2.1设函数f(z)=u(x,y)+iδ(x,y)定义在区域D内，则f(z)在D内一点z=x+iy可导的充要条件是：u(x,y)与δ(x,y)在点(x,y)可微，并且在该点满足Cauchy-Riemann(柯西—黎曼)方程且定理2.2.2函数f(z)=u(x,y)+iδ(x,y)在其定义域D内解析的充要条件是：u(x,y)与δ(x,y)在D内可微，并且满足C-R方程(2.2.2)§3初等函数定义2.3.1如果ω=f(z)是区域D内的一一解析映射，则称f(z)是D内的单叶函数，D称为f(z)的单叶性区域。1.指数函数设z=x+iy是任意复数，指数函数ez定义为由此得到指数函数的性质：(1)指数函数不取零值：ez≠0(2)对于任意的z1，z2，有(3)ez以2πi为周期(4)对于任意的实数θ，有(5)ez在复平面上解析，且(6)不存在(7)ez的单叶性区域ω=ez把条形域Dn:(2kπ-1)π＜Imz＜(2k+1)(k=0,±1，±2，…)单叶地映为沿负实轴剪开了的ω平面。注意(1)ez可能取负值。例如，(2)在复平面上，ez=ez+2kπi(k为整数)，但即不满足Rolle(洛尔)定理，可见数学分析中的微分中值定理不能推广到复平面上来。2.对数函数即称为lnz的主值，记为lnz，即一般地，对于一个给定的点z0和给定的函数ω=f(z)，如果变点z在z0点的充分小邻域内绕z0转一周回到原来点时，函数值与原来的值不相同，则称此z0点为函数f(z)的支点。如在复平面上割破(连接z=0和z=∞点的)负实轴(原则上，可用任一条连结z=0和z=∞的射线，把z平面割破)，点z就算也不能绕支点z=0和支点z=∞回绕了。因此，任意点的幅角都是唯一确定的。一般地，用来割破z平面借以分出多值函数的单值分支的割线，称为支割线(通俗地说，支割线就是支点的连线)。函数的黎曼面我们用DR(R=0,±1,±2，…)表示割破了(从原点出发的)负实半轴。(其上任一点z的)辐角θ满足条件:(2R-1)π＜θ≤(2R+1)π(k=0,±1,±2,…)的z平面，并且设想这些z平面已经按照…，D-n，D-n+1，…，D-1，D0，D1，…的顺序从上而下相重迭，它们的原点位置、实轴、虚轴的方向都相同。若我们沿支割线(从原点出发的负实半轴)依次使Dk的上岸与Dk-1的下岸粘合，则所有的Dk(k=0,±1,±2,…)依照这种办法粘合而得到的曲面，就是对数函数ω=lnz的黎曼面。它在支割线的垂直纵面如图2.3.4。ω=lnz的各个分支在除去原点及负实轴的平面内也解析，并且有相同的导数值。对数函数具有如下性质:设z1≠0,z2≠0，则注意一般不能有ln(z1z2)=lnz1+lnz2等式子，这一点要特别小心。注意在复变函数中，负数也有对数。这一点和实变函数中不同，而且正实数的对数在复变函数中也是无穷多值的。等式不再成立。(请读者举出例子)注意3.幂

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