复变函数总复习

复变函数复数基础：复平面表示：z=x+iy三角表示：z=r(cosθ+Isinθ)指数表示：z=reiθArgz=θ=argz+2kπ复数运算：和、差、积、商、共轭、乘幂、方根；复数运算的几何意义：平移、旋转、缩放距离：|Z1-Z2|yxzθryxz1z2Z1-Z2复变函数复数不等式：简单曲线的复数表示：圆、椭圆、双曲线、抛物线扩充复平面：包含无穷远点的复平面复球面：北极表示无穷远点复变函数复变函数参数曲线复变函数区域简单、闭简单、不闭不简单、闭不简单、不闭复变函数复变函数：w=f（z）W=u+ivu=u（x，y）v=v（x，y）极限：连续：Note1：连续函数的四则运算（分母不为0）仍连续；Note2：连续函数的复合运算仍连续；Note3：若函数连续，则存在M，使得复变函数解析函数内容：复变函数导数及解析函数概念；函数解析的充要条件；初等函数及其解析性质；1.基本要求（1）理解复变函数导数、解析的概念。（2）掌握复变函数解析的充要条件及判别函数解析性的方 法。（3）了解初等函数（指数函数、三角函数、对数函数、幂函 数）的定义及解析性质。（4）了解平面场的复势。2.重点重点：复变函数解析的概念及判别方法。复变函数复变函数的导数：求导法则：P377条基本法则Z0处解析：复变函数在Z0及其领域内处处可导解析法则：解析函数的四则运算（分母不为0）仍然解析；复合函数的解析法则在一点处可导的充要条件：u、v可微，且满足C-R方程：复变函数初等函数指数函数Note1：复平面解析；Note2：Note3：Note4：周期性，以2kπi为周期对数函数Note1：复平面除负实轴及原点处处解析，且；Note2：Note3：lnz=ln|z|+iargzNote4：Lnz=lnz+i2kπ，多值函数Note5:复变函数幂函数乘幂幂函数b为整数时，复平面单值解析；b不为整数时，其各分支在除去负实轴及原点的复平面解析；三角函数复平面解析；以2π为周期；双曲函数复平面解析；以2πi为周期。复变函数反三角函数多值函数；反三角函数及反双曲函数表达式的推导；平面场的复势：用复变函数表示平面向量场；****场论与复变函数总复习场论掌握场论的有关内容、概念和方法，使学生理解和掌握在力学、电学、电磁学等学科中所遇到的场的数学背景，掌握其运算的一般规律，使学生得到抽象科学思维的训练，提高学生数学素养和能力，为学生学习有关后续课程以及进一步扩大数学知识奠定必要的数学基础；20-30%复变函数复变量函数的分析课程。通过本课程的学习，使学生掌握复变函数的基本理论与方法，了解复变函数在后续数学课程（如积分变换、数学物理方程）中的应用以及在解决实际问题中的应用，培养学生应用复变函数的知识解决本专业实际问题的能力；70-80%课程学习的意义场论是工科类专业学生的必修课程，它揭示和探索了某种物理量（如：温度、密度、电位、力、速度等等）空间的分布和变化率，是现代化科学中不可缺少的数学工具。复变函数是介于基础理论和工程技术的中间课程，是自然科学与工程技术中常用的数学工具。复变函数与高等数学中的许多概念、理论和方法有相同之处，但又有其固有的特性。它是微分方程、奇异积分方程和计算数学等数学分支的主要解析方法，是解决诸如流体力学、电磁学、热学、弹性理论中平面问题的有利工具。场论§1.基本要求1、正确理解数量场、矢量场的基本概念，理解数量场的等值面和矢量场的矢量线的意义。2、正确理解数量场的方向导数及梯度的概念，并会求解一般函数沿给定方向的方向导数和梯度。3、正确理解矢量场的通量及散度的意义，熟练运用法则求解一些矢量场的通量和散度。4、正确理解矢量场的环量及旋度的意义，会用基本公式求解一些矢量场的环量和旋度。5、理解有势场、管形场、调和场的基本概念，会求解有势场的势函数；理解矢性算子（哈密顿算子）的一般概念。场论§2.研究内容：数量场和矢量场的概念；数量场的等值面和矢量场的矢量线的概念；数量场的方向导数和梯度的定义及计算；矢量场的通量和散度的定义及计算；矢量场的管量和旋度的定义及计算；有势场、管形场、调和场的概念和意义。§3.重点、难点重点：数量场、矢量场的基本概念，方向导数和梯度、通量和散度、环量和旋度的计算。难点：方向导数和梯度、通量和散度、环量和旋度的计算。场论矢性函数：矢端曲线

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