函数的性质及运用-高一数学必修一同步讲义

函数的性质及运用

【考纲解读】

理解增函数，减函数，函数单调性，函数单调区间，奇函数，偶函数，函数奇偶性，周期函数的定义；

掌握判断（或证明）函数单调性，函数奇偶性和函数周期性的基本方法；

能够熟练运用函数单调性，函数奇偶性和函数周期性解答相关的数学问题。

【知识精讲】

函数的单调性：

（一）函数单调性的基本概念：

增函数的定义：设D是函数f(x)定义域的子集，任取，∈D，且＜，如果f()＞f()都成立，则称函数f(x)是区间D上的增函数；

2、减函数的定义：设D是函数f(x)定义域的子集，任取，∈D，且＜，如果f()＜f()都成立，则称函数f(x)是区间D上的减函数；

3、函数的单调性的定义：函数具有增函数（或减函数）的性质，称为函数的单调性；

4、函数的单调区间的定义：函数增函数（或减函数）的区间，叫做函数的单调区间。

（二）判断（或证明）函数单调性的基本方法：

1、判断（或证明）函数单调性的基本方法：

（1）判断（或证明）函数单调性的基本方法有：①定义法；②图像法；

（2）图像法的基本方法是：①作出函数的图像；②确定判断（或证明）函数单调性的区间；③在函数的图像上找到相应的区间；④根据函数图像得出函数的单调性；

（3）定义法的基本方法是：①求出函数的定义域；②确定判断（或证明）函数单调性的区间；③在相应的区间上任取，，且＜；④比较函数值f()，f()的大小；⑤根据④得出函数的单调性。

2、比较函数值f()，f()的大小的基本方法：

（1）比较函数值f()，f()的大小的基本方法有：①求差法；②求商法；

（2）求差法的函数值f()，f()的大小基本方法是：①求出函数值f()-f()的差；②把①中的差与数0作比较；③根据②得出函数值f()，f()的大小；

（3）求商法的基本方法是：①求出函数值的商；②把①中的商与数1作比较；③根据②得出函数值f()，f()的大小。

3、判断（或证明）含有参数的函数单调性的基本方法：

判断（或证明）含有参数的函数单调性的基本方法是：①根据参数分类讨论的原则和基本方法对参数进行恰当的分类；②对参数的每一个取值范围运用判断（或证明）函数单调性的基本方法判断（或证明）函数的单调性；③综合得出问题的结果。

4、理解函数单调性应该注意的问题：

（1）讨论函数的单调性必须在函数的定义域内进行，原因是函数的单调区间是函数定义域的子集；

（2）函数的单调性是一个区间概念，即使函数在定义域内的各个区间都是增（或减）函数，也不能说函数在定义域内是增（或减）函数；

（3）函数的单调区间可以是开区间，也可以是闭（或半开半闭）区间；对于闭区间上的连续函数只要在开区间上单调，它在闭区间上也单调；

（4）函数单调性的变化是求函数值域和最值的主要依据，函数的单调区间求出后，再判断函数的单调性，是求函数值域和最值的前提，同时函数图像是函数单调性的最直观体现。

（三）函数单调性的运用：

1、函数单调性运用问题的主要类型：

函数单调性的运用问题主要包括：①已知函数的单调性，求函数解析式中参数的值（或取值范围）；②运用函数的单调性求函数的值域（或最值）；③已知函数的单调性，求不等式的解集。

2、函数单调性运用问题的处理方法：

（1）求解已知函数的单调性，求函数解析式中参数的值（或取值范围）的基本方法是：①根据函数的单调性得到关于参数的不等式（或不等式组）；②求解不等式（或不等式组）求出参数的取值范围；③得出参数的值（或取值范围）；

（2）求解运用函数的单调性求函数值域（或最值）的基本方法是：①判定（或证明）函数在某一区间的单调性；②根据函数的单调性求出函数在该区间上的最大值（或最小值）；③得出函数在给定区间上的值域（或最值）；

（3）求解已知函数的单调性，求不等式的解集的基本方法是：①根据函数的单调性得到关于自变量x的不等式（或不等式组）；②求解（不等式）（或不等式组）求出自变量x的取值范围；③得出不等式的解集。

二、函数的奇偶性：

（一）函数奇偶性的基本概念：

1、奇函数的定义：设函数y=f(x)的定义域为A，如果对任意的xA，都有f(-x)=-f(x)成立，则称函数y=f(x)为定义域A上的奇函数。

2、偶函数的定义：设函数y=f(x)的定义域为A，如果对任意的xA，都有f(-x)=f(x)成立，则称函数y=f(x)为定义域A上的偶函数。

3、函数的奇偶性的定义：函数y=f(x)具有奇函数（或偶函数）的性质，称为函数y=f(x)的奇偶性。

4、理解函数奇偶性应注意的问题：

（1）函数f(x)可以是奇函数，也可以是偶函数，也可以既是奇函数又是偶函数，也可以既不是奇函数又不是偶函数；但函数具有奇偶性的必要条件是定义域关于原点对称；

（2）函数是奇函数的充分必要条件是函数的图像关于原点成中心对称图形；函数是偶函数充分必要条件是

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