高考数学一轮复习——圆锥曲线综合复习讲义

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2024年高考数学一轮复习

圆锥曲线综合复习

在高考数学中，几何题在大题中的考察分为立体几何部分和解析几何，各一题，每题12分。近些年高考题型虽然固定，但不再像以前那样呈每题固定题型趋势，而是不同的题号，这也反映了高考每年的难度的不同。

在解析几何大题中，和立体几何一样是有固定的步骤的，但也有区别。立体几何虽然有固定的步骤（第（2）问都会涉及求向量夹角余弦值）但需要计算比较麻烦。而在解析几何中：

①题型固定。第（1）问求解析式或斜率等，第（2）问求最值、向量积、角度等等，但归根到底第（2）问只运用到了一种方法“在特殊点处取极值”。

②计算简单，能取巧的地方多。第（2）问往往需要分类讨论，讨论斜率是否存在。这时候如果在讨论存在的时候去计算，则会掉入了出题人的陷阱之中，千万不能去计算！！！

③答题格式固定。和立体几何一样，解析几何答题过程固定，也是有固定过程的，背住即可。

以上的部分，可能会存在疑惑，为什么“在特殊点处取极值”呢？因为在高中数学中，由于几何知识学习的有限性，圆锥曲线只会涉及到最为基础的中心在原点的圆锥曲线，这种圆锥曲线在高等数学中和过原点的圆一样，被称为特殊的圆锥曲线。

选择填空中涉及到普通的圆锥曲线的情况少之又少，大题中更不可能。因为是特殊的圆锥曲线，所以也就造成了所求的结果只会在特殊点处取到，也就造成了经典的“在特殊点处取极值”。

这一经典的结论，往往老师在教学过程中不会告诉学生，为了防止学生遇到习题时不动脑子，而去一味地使用，也怕学生遇到新题的时候用不上。

一、椭圆

1.定义

平面内到两个定点的距离的和等于常数（大于）$的点的轨迹，叫做椭圆，其中两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。换言之，椭圆就是点集，为常数。

2.公式

或

3.性质

（1）范围

（2）对称性

①椭圆是轴对称图形，有两条互相垂直的对称轴，它也是中心对称图形，对称中心就是两对称轴的交点；

②对称中心叫做椭圆的中心；

③对称轴与椭圆的交点叫做椭圆的顶点，共有四个；

④连结相对两顶点且过两焦点的线段叫做椭圆的长轴；

⑤连结相对两顶点且不过焦点的线段叫做椭圆的短轴；

⑥椭圆的两条对称轴是两坐标轴，对称中心是原点。

（3）顶点

（4）离心率

4.三者关系

二、双曲线

1.定义

平面内到两个定点的距离的差等于常数（大于）的点的轨迹，叫做双曲线，其中两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。换言之，双曲线就是点集，为常数

2.公式

或

3.性质

（1）范围

或

（2）对称性

①双曲线是轴对称图形，有两条互相垂直的对称轴，它也是中心对称图形，对称中心就是两对称轴的交点；

②对称中心叫做双曲线的中心；

③对称轴与双曲线的交点叫做双曲线的顶点，共有两个；

（3）顶点

（4）渐近线

（5）离心率

4.三者关系

三、抛物线

1.定义

平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹，点叫做抛物线的焦点。

2.公式

或

3.性质

（1）范围

或

（2）对称性

①抛物线是轴对称图形，有一条对称轴，；

②对称轴与双曲线的交点叫做双曲线的顶点，共有一个；

（3）顶点

（4）离心率

（5）准线

（6）焦点

四、直线与圆锥曲线的综合问题

在高考中，常考圆锥曲线与直线（一次函数）的综合问题，常规步骤是：

①将圆锥曲线方程和直线方程联立，并化简；

②利用韦达定理求出或；

③求值。

五、做题技巧

1、中点弦（点差法）

技巧：都是利用直线的斜率和的值来求解

（1）普通的中点弦

点差法：设出两个坐标，代入方程，作差，利用斜率和中点坐标公式即可得出结论。

（2）特殊的中点弦

利用普通中点弦的方法进行求解。

如：河南省洛阳市2022-2023学年高二下学期期末数学文科试题

【卷号】3258697568108544

【题号】3260247816126464

【题文】

已知双曲线（，）的离心率，是双曲线上关于原点对称的两点，点是双曲线上异于的动点，直线的斜率分别为，，若，则的取值范围是（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用离心率求出之间的关系，设出坐标代入双曲线方程，结合的范围即可求出的取值范围.

【详解】由题意，

在双曲线（，）中，离心率，

∵，解得：，

∴，

是双曲线上关于原点对称的两点，点是双曲线上异于的动点，

设，

∴，解得：，

∵直线的斜率分别为，，且，

∴，

∴

故选：B.

2、特殊点处取极值

高中阶段，由于所学的内容均为最基础的特殊情况，只有到了大学阶段的高等数学中才会讲解一般情况，所以高中阶段学到的圆锥曲线在这些特殊位置都是取极值的。因此，“特殊点处取极值”也成为解决解析几何大题的关键所在。

如：2023年全国乙卷第20题

20.（12分）

已知椭

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