高考数学一轮复习讲义——复数

2024年高考数学综合复习

复数

在数学中，复变函数论以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个重要组成部分。复数概念自16世纪引入，到18世纪被数学家广泛接受，再到19世纪复变函数理论蓬勃发展，复数的发展经历了漫长曲折的过程。

它产生于18世纪，并在19世纪得到了全面的发展。欧拉、达朗贝尔、拉普拉斯、柯西、黎曼、魏尔斯特拉斯等为这门学科的创建与发展做了大量的工作。20世纪初，米塔-列夫勒、庞加莱、阿达马等进一步开拓了复变函数理论的研究领域，为这门学科的发展做出了重要贡献。复变函数论主要研究复数域上的解析函数，包括解析函数理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数、共形映射等内容。积分变换是以复变函数与微积分为基础，通过积分运算将微分、积分等分析运算转换为代数运算。

随着科技的进步，复数理论不仅对数学本身的发展起了极其重要的作用，而且对物理学、信息学等学科领域影响巨大，并得到了广泛的应用。复变函数与积分变换的理论体系已经渗透到代数学、微分方程等数学分支，在电气工程、信号分析与图像处理、通信与控制、量子力学、理论物理、地质勘探与地震预报等领域中有着广泛的应用。在物理、电气、电信、交通等专业开设复变函数课程，已在国内外大学形成共识。

在高中阶段，书中详细讲述了复数的定义，四则运算和相关的几何意义，介绍了复数的三角表示，欧拉公式和棣莫弗定理，使学生对复数有了一个系统的了解和认知。

在高考数学中，复数作为高考数学的必考部分，无论是新高考还是老高考大多以一道选择题的形式出现，分值5分，常作为基础题考查，考察内容固定，即便作为选学内容，不作考试要求，但其体现了复数和三角函数的结合，使用三角表示能更好更快地解决复数问题，因此“复数与三角函数结合优先考虑欧拉公式”，也是学习中的一个重难点。

一、数系的扩充和复数的概念

1.复数的相关概念

把实数与相乘，结果记作；把实数与相加，结果记作。注意到所有实数以及都可以写成的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中。

我们把形如的数叫做复数（complexnumber），其中叫做虚数单位（imaginaryunit）。全体复数所构成的集合叫做复数集（setofcomplexnumbers）。这样，方程在复数集中就有解了.

复数通常用字母表示，即。以后不作特殊说明时，复数都有，其中的与分别叫做复数的实部（realpart）与虚部（imaginarypart）。

在复数集中任取两个数，我们规定：

与相等当且仅当且.

对于复数，当且仅当时，它是实数；当且仅当时，它是实数0；当时，它叫做虚数（imaginarynumber）；当且时，它叫做纯虚数.

例如，都是虚数，它们的实部分别是，虚部分别是，并且其中只有是纯虚数。

注：虚部是前的系数，不包含。

显然，实数集是复数集的真子集，即?.

这样，复数可以分类如下：

复数

复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系：

2.几何意义

（1）几何意义一——有序实数对

因为任何一个复数都可以由一个有序实数对唯一确定，并且任给一个复数也可以唯一确定一个有序实数对，所以复数与有序实数对是一一对应的，即构成映射关系。而有序实数对与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系。

如图，点的横坐标是，纵坐标是，复数可用点表示。这个建立了平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴。显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。

按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应。由此可知，复数集中的数与复平面内的点按如下方式建立了一一对应关系

这是复数的一种几何意义.

（2）几何意义二——向量

设复平面内的点表示复数，连接，显然向量是由点唯一确定的；反过来，点也可以由向量唯一确定。因此，复数集中的数与复平面内以原点为起点的向量建立了如下一一对应关系（实数与零向量对应），即

这是复数的另一种几何意义.

为方便起见，我们常把复数说成点或说成向量，并且规定，相等的向量表示同一个复数.

图中向量的模叫做复数的模（modulusofacomplexnumber）或绝对值，记作或。即

其中.

如果，那么是一个实数，它的模就等于（的绝对值）。

（3）共轭复数

一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数（conjugatecomplexnumber）。虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数。复数的共轭复数用表示，即如果，那么。

【例题】河南省信阳高级中学2023-2024学年高二上期08月开学考试（25届）暨信阳高中高二上期易错题回顾测试（2023.08.01）

2.若（为虚数单位，是的共轭

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