*§5.1n维向量的内积定义1设n维实向量称实数为向量与的内积，一，内积即内积是向量的一种运算，用矩阵表示，有性质：（1）对称性：（2）线性性：（3）正定性：由正定性可以引出向量的长度概念。定义2由定义2及内积的性质易证向量的长度具有以下性质：（1）正定性：（2）齐次性：（3）三角不等式：（4）柯西-许瓦兹（Cauchy-Schwarz)不等式:长度为1的向量称为单位向量。由长度的正定性及齐次性可知：当时，此时表明是单位向量。得到单位向量的过程称为单位化或标准化.由非零向量定义3称为与的夹角.正交（垂直）由定义2知：例1设求：解（1）（2）得简化的齐次线性方程组得其基础解系为一组两两正交的非零向量称为正交向量组.由单位向量组成的正交向量组称为标准正交基.二、标准正交基与施密特（Schimidt)方法定义4由上述定义可知：（1）（2）定理1若n维向量是一组两两正交的非零向量，则线性无关.证明：则上式两端与作内积可得这表明线性无关.定义5的一组基，若它们两两正交，则称是向量空间V的一组正交基；当正交基是单位向量时，则称这组正交基为向量空间V的一组标准正交基（或称规范正交基）.设是向量空间例如：就是是中一组典型的标准正交基。设表示式为即作内积：可用与上式两端为求其中的系数若是V的一组标准正交基，那么V中的任一向量应能由线性表示，从而即是说，在标准正交基下，向量的坐标可以通过内积简单地表示出来.设是向量空间V的一组标准正交基，使与等价，这组基标准正交化.此问题称为把也就是要找到一组两两正交的单位向量定理2向量空间V中的任意r个线性无关的向量可用施密特正交化方法转换成一组正交向量组其中而且与等价，进而令就得到V的一个标准正交向量组.是V的基，则是V的标准正交基.如果上述由线性无关向量组导出正交化向量组的施密特正交化的过程，与等价，满足不仅还满足：对任何向量组与等价.取例3设试用施密特正交化过程把这组向量标准正交化.解再把它们单位化，取即为所求.
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