线性代数及应用（第2版）课件 1-2 矩阵的定义与运算

第1章矩阵及应用

1.2矩阵的定义与运算

矩阵的定义由m×n个数排成的数称为矩阵的第i行第j列元素，简称为元．矩阵简记为定义1m行n列的矩形数表称为m行n列矩阵，简称m×n矩阵．

矩阵的定义只有一行的矩阵称为行矩阵(或行向量)．只有一列的矩阵称为列矩阵(或列向量)．可记作可记作元是实数的矩阵称为实矩阵，是复数的称为复矩阵．

几种特殊矩阵主对角线次对角线主对角线上的元称为矩阵的主对角线元．次对角线上的元素称为矩阵的次对角线元．行数与列数都等于n的矩阵，称为n阶方阵．可记作

几种特殊矩阵上三角形矩阵下三角形矩阵对角矩阵n阶单位矩阵记作或零矩阵记作

两个矩阵的行数相等、列数相等时，称为同型矩阵．两个矩阵与为同型矩阵，并且对应元素相等，即A与B相等，记作A=B．则称矩阵定义2设有两个矩阵矩阵A与B的和记作，规定为只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算．矩阵的运算

矩阵的运算定义3注矩阵的加法与数乘统称为矩阵的线性运算．设A=(aij)，称矩阵(-aij)为A的负矩阵，记作-A．矩阵的线性运算规律（其中为数）

矩阵的运算例1解

矩阵的运算其中aij表示工厂向第i家商店发送第j种货物的数量；货物的单价及单件重量为的单价，bi2表示第i种货物的单件重量．某工厂向三家商店发送的货物数量为试求：工厂向三家商店所发货物的总值及总重量．例2这四种其中bi1表示第i种货物解

矩阵的运算注意只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的定义4例如行数时，两个矩阵才能相乘．

矩阵的运算解例3

矩阵的运算注意(1)矩阵乘法不满足交换律；若AB=BA，则称A与B可交换．可交换的一定是方阵．n阶单位阵与任何n阶矩阵乘法可交换．注意(2)注意(3)例如

矩阵的运算矩阵乘法的运算规律(1)乘法结合律(2)乘法对加法的分配律(3)数乘和乘法的结合律（其中l是数）(4)单位矩阵在矩阵乘法中的作用类似于数1，即

矩阵的运算方阵幂的运算规律思考A，B可交换时成立下列等式是否成立？

矩阵的运算例4解于是

矩阵的运算把矩阵A的行换成同序数的列而得到的新矩阵，转置矩阵的运算规律定义5称为矩阵A的转置矩阵，记作例如

矩阵的运算已知解法1解法2例5

矩阵的运算如果满足AT=-A，那么称A为反对称矩阵．对称阵反对称阵设A为n阶方阵，如果满足，即对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等，反对称阵的主对角线元为零．定义6那么称A为对称矩阵．说明

矩阵的运算设列矩阵满足证明例6

矩阵的运算证明任一n阶矩阵都可表示成对称阵与反对称阵之和．证明所以C为对称矩阵，所以B为反对称矩阵，证毕．所以C/2也是对称矩阵．所以B/2也是反对称矩阵．例7

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