线性代数-第四章-矩阵的特征值4.1

§4.1矩阵的特征值与特征向量一、矩阵的特征值与特征值征向量二、特征值与特征向量的基本性质

定义4?1(特征值与特征向量)设A为n阶矩阵??是一个数?如果方程Ax??x存在非零解向量?则称?为A的一个特征值?相应的非零解向量x称为与特征值?对应的特征向量?提示?Ax??x??x?Ax?o?(?I?A)x?o?(?I?A)x?o有非零解?|?I?A|?0?定义4?2(特征方程)矩阵?I?A称为A的特征矩阵?行列式|?I?A|称为A的特征多项式?|?I?A|?0称为A的特征方程?一、矩阵的特征值

一、矩阵的特征值定义4?1(特征值与特征向量)设A为n阶矩阵??是一个数?如果方程Ax??x存在非零解向量?则称?为A的一个特征值?相应的非零解向量x称为与特征值?对应的特征向量?定义4?2(特征方程)矩阵?I?A称为A的特征矩阵?行列式|?I?A|称为A的特征多项式?|?I?A|?0称为A的特征方程?方程|?I?A|?0的每个根都是矩阵A的特征值?方程(?I?A)x?o的每个非零解都是l对应的特征向量?

提示?方程|?I?A|?0的每个根都是矩阵A的特征值?方程(?I?A)x?o的每个非零解都是l对应的特征向量?解?矩阵A的特征方程为矩阵A的特征值为?1?4??2??2?对于特征值?1?4?解线性方程组(4I?A)x?o?即

方程|?I?A|?0的每个根都是矩阵A的特征值?方程(?I?A)x?o的每个非零解都是l对应的特征向量?解?矩阵A的特征方程为矩阵A的特征值为?1?4??2??2?对于特征值?1?4?解线性方程组(4I?A)x?o?即得其基础解系x1?(1?1)T?所以cx1(c?0)是矩阵A对应于?1?4的全部特征向量?

提示?方程|?I?A|?0的每个根都是矩阵A的特征值?方程(?I?A)x?o的每个非零解都是l对应的特征向量?解?矩阵A的特征方程为矩阵A的特征值为?1?4??2??2?对于特征值?2??2?解线性方程组(?2I?A)x?o?即

得其基础解系x2?(1??5)T?所以cx2(c?0)是矩阵A对应于?2??2的全部特征向量?方程|?I?A|?0的每个根都是矩阵A的特征值?方程(?I?A)x?o的每个非零解都是l对应的特征向量?解?矩阵A的特征方程为矩阵A的特征值为?1?4??2??2?对于特征值?2??2?解线性方程组(?2I?A)x?o?即

解?矩阵A的特征方程为矩阵A的特征值为?1?2??2??3?1?对于特征值?1?2?解线性方程组(2I?A)x?o?即提示?

解?矩阵A的特征方程为矩阵A的特征值为?1?2??2??3?1?对于特征值?1?2?解线性方程组(2I?A)x?o?即得其基础解系x1?(0?0?1)T?所以cx1(c?0)是矩阵A对应于?1?2的全部特征向量?

解?矩阵A的特征方程为矩阵A的特征值为?1?2??2??3?1?对于特征值?2??3?1?解线性方程组(I?A)x?o?即提示?

解?矩阵A的特征方程为矩阵A的特征值为?1?2??2??3?1?得其基础解系x2?(1?2??1)T?所以cx2(c?0)是矩阵A对应于?2??3?1的全部特征向量?对于特征值?2??3?1?解线性方程组(I?A)x?o?即

解?矩阵A的特征方程为矩阵A的特征值为?1??2??2??3?1?对于特征值?1??2?解线性方程组(?2I?A)x?o?即提示?

解?矩阵A的特征方程为矩阵A的特征值为?1??2??2??3?1?对于特征值?1??2?解线性方程组(?2I?A)x?o?即得其基础解系x1?(?1?1?1)T?所以cx1(c?0)是矩阵A对应于?1??2的全部特征向量?

解?矩阵A的特征方程为矩阵A的特征值为?1??2??2??3?1?对于特征值?2?

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