线性代数习题--行列式

行列式

二阶、三阶行列式—对角线原理

■计算下列二阶行列式

；;;

；；.

解

=;

=;

=;

■计算下列三阶行列式

(1)(2);(3)(4)

(5)(6).(7).

解=

=2′(-4)′3+0′(-1)′(-1)+1′1′8-0′1′3-2′(-1)′8-1′(-4)′(-1)

=-24+8+16-4=-4.

=;

=.

=x(x+y)y+yx(x+y)+(x+y)yx-y3-(x+y)3-x3

=3xy(x+y)-y3-3x2y-x3-y3-x3

=-2(x3+y3).

行列式的定义

排列与逆序

■计算以下各个排列的逆序数,并指出它们的奇偶性:

1234

4132

2413

314265；

314265789；

542391786；

134785692

139782645

987654321；

246813579；

.

(4)13…24…；

(5)13……2.

(6).

解

逆序数为0

逆序数为4:41,43,42,32.

逆序数为3.

偶排列

偶排列

奇排列

11;

17.

偶排列

偶排列

,这表明该排列的逆序数与n有关,故要对n进行讨论:

当时为偶数，此时排列.为偶排列;

当时为奇数，此时排列.为奇排列.

(4)逆序数为.

32(1个)

52,54(2个)

72,74,76(3个)

××××××

(2n-1)2,(2n-1)4,(2n-1)6,×××,(2n-1)(2n-2)(n-1个)

(5)逆序数为.

32(1个)

52,54(2个)

××××××

(2n-1)2,(2n-1)4,(2n-1)6,×××,(2n-1)(2n-2)(n-1个)

42(1个)

62,64(2个)

××××××

(2n)2,(2n)4,(2n)6,×××,(2n)(2n-2)(n-1个)

(6)当为偶数时，，排列为

其中为的逆序数；为与它前面数构成的逆序数；为与它们前面数构成的逆序数的和；为，与它们前面数构成的逆序数的和.

当为奇数时，，排列为

其中为的逆序数；为与它们前面数构成的逆序数的和；为与它们前面数构成的逆序数的和.

■确定，使6元排列为奇排列.

■在由1,2,3,4,5,6,7,8,9组成的下述9阶排列中,选择使得:

(1)(2)

(3)(3)

均要求说明理由.

分析排列中的两个未知数据排列的定义只能取3或7.因而只有两种情况：132574896与172534896，然而我们只需计算上述的一个排列就可得知结果，因为与是和作一次对换得到的，而作一次对换必改变排列的奇偶性，也就是说若为偶排列,则必为奇排列.其余题解法也类似.

解(1)取有为偶排列,符合题目要求.

(2)取有为偶排列,故取时172534896为奇排列,符合题目要求.

(3)取有为偶排列，符合题目要求.

(4)取有为偶排列.故取时931425786为奇排列,符合题目要求.

■写出四阶行列式中含有因子的项.

解由定义知，四阶行列式的一般项为

，

其中为的逆序数．由于已固定，只能形如□□，即1324或1342.对应的分别为

或

故和为所求.

■写出4阶行列式中包含因子的项,并指出正负号.

解4阶行列式中包含因子的项有和.由于，故取正号;，故取负号.

■当___,=___时成为5阶行列式中一个取负号的项,为什么?

解和只能取1,4或者4,1.不妨先假设,则=,这个项的符号就是,不符合要求.那么当时=,它和相比就是交换了列指标1和4的位置,因与相比改变了奇偶性,所以的符号为负.故应填.

■若是5阶行列式中的一项,则当___,=___时该项的符号为正,当___,=___时该项的符号为负,为什么?

解此问和问题3类似,和只能取2,3或者3,2.不妨先假设,则符号为=,所以取的是负号.那么由问题3的分析可知当时符号取正.所以当时该项的符号为正,当时该项的符号为负.

■在6阶行列式中,下列项应该取什么符号?为什么?

(1);(2);

(3);(4).

解(1)因,所以取正号;

另一种方法是:

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