第1节　立体图形及其直观图、简单几何体的表面积与体积

第七章立体几何与空间向量

(必修第二册+选择性必修第一册)

第1节立体图形及其直观图、简单几何体的表面积与体积

[课程标准要求]

1利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形,认识柱体、锥体、台体、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构

2了解球、柱体、锥体、台体的表面积和体积的计算公式

3会用斜二测画法画出简单空间图形的直观图

1空间几何体的结构特征

(1)多面体的结构特征

名称

棱柱

棱锥

棱台

图形

底面

互相平行且全等

多边形

互相平行且相似

侧棱

平行且相等

相交于一点但不一定相等

延长线交于一点

侧面形状

平行四边形

三角形

梯形

(2)旋转体的结构特征

名称

圆柱

圆锥

圆台

球

图形

母线

平行、相等且垂直于底面

相交于一点

延长线交于一点

—

轴截面

全等的矩形

全等的等腰三角形

全等的等腰梯形

圆

侧面展开图

矩形

扇形

扇环

—

2直观图

空间几何体的直观图常用斜二测画法画,其规则是(1)原图形中轴、y轴、轴两两相互垂直,直观图中,′轴、y′轴的夹角为45°(或135°),′轴与′轴、y′轴所在平面垂直

(2)原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍分别平行于坐标轴平行于轴和轴的线段在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的线段长度在直观图中变为原的一半

3圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

名称

圆柱

圆锥

圆台

侧面展开图

侧面积公式

S圆柱侧=2πrl

S圆锥侧=πrl

S圆台侧=π(r′+r)l

4空间几何体的表面积与体积公式

几何体

名称

表面积

体积

柱体(棱柱和圆柱)

S表面积=S侧+2S底

V=S底·h

锥体(棱锥和圆锥)

S表面积=S侧+S底

V=13S底·

台体(棱台和圆台)

S表面积=S侧+S上+S下

V=13h(S上+S下+S

球

S=4πR2

V=43πR

圆台、圆柱、圆锥的转化当圆台的上底面半径与下底面半径相等时,得到圆柱;当圆台的上底面半径为零时,得到圆锥

S圆柱侧=2πrlS圆台侧=π(r+r′)lS圆锥侧=πrl

V圆柱=S底·hV圆台=13h(S上+S下+S上S下)V圆锥=13S

1特殊的四棱柱

四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体

2平面图形的直观图与原平面图形面积间关系S直观图=24S

1已知某圆柱的高为10,底面周长为8π,则该圆柱的体积为()

A640π B250π

160π D120π

解析某圆柱的高为10,底面周长为8π,因为2πr=8π,所以r=4,故圆柱的体积为16π×10=160π

2已知三个球的体积之比为1∶27∶64,则它们的表面积之比为(B)

A1∶3∶4 B1∶9∶16

2∶3∶4 D1∶27∶64

解析由题意,设三个球的半径分别为r1,r2,r3,

则43πr13∶43πr23∶43πr

故表面积之比4πr12∶4πr2

3(必修第二册P109例2改编)如图所示,直观图所表示的平面图形是(D)

A正三角形 B锐角三角形

钝角三角形 D直角三角形

解析由直观图中A′′∥y′轴,B′′∥′轴,还原后A∥y轴,B∥轴,所以△AB是直角三角形

4(2021·全国甲卷)已知一个圆锥的底面半径为6,其体积为30π,则该圆锥的侧面积为?

解析设该圆锥的高为h,则由已知条件可得13×π×62×h=30π,解得h=52,则圆锥的母线长为?2+62=254+36=

答案39π

5(2020·新高考Ⅱ卷改编)已知正方体ABD-A1B11D1的棱长为2,,N分别为BB1,AB的中点,则三棱锥A-ND1的体积为?

解析因为正方体ABD-A1B11D1的棱长为2,,N分别为BB1,AB的中点,

所以VA?NMD1=VD1?AMN=1

答案1

空间几何体的结构特征、直观图

1(多选题)下列命题正确的是(D)

A长方体是直四棱柱,直四棱柱是长方体

B有两个面平行,其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱

有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥

D正棱锥的侧面是全等的等腰三角形

解析直四棱柱底面可以为任意四边形,所以直四棱柱不一定是长方体,故A错误;如图所示,上下底面平行,各个面都是平行四边形,此几何体不是棱柱,故B错误;棱锥侧面全为三角形,有一个面是平行四边形,则此面为底面,所以该棱锥为四棱锥,故正确;正棱锥的侧面是全等的等腰三角形,故D正确

2给出下列四个命题

①有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱;

②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥;

③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体;

④底面为正多边形,且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱

其中不正确的命题为(填序号)?

解析对于①,平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形,故①错误;对于②,对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明(如图),故②错

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