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第10讲利用导数研究函数的单调性、极值和最值
考点01:利用导数求函数的单调区间
1.设函数,则函数的单调增区间为__________.
【答案】和
【分析】首先求出,再因式分解,令,解不等式组即可得出单调增区间.
【详解】,
令,得或,解得或,
所以函数的单调增区间为和,
故答案为:和.
考点02:求已知函数的极值(点)
2.已知函数,则的极小值为______.
【答案】
【分析】根据函数的导数与单调性、极值的关系求解.
【详解】函数的定义域为,,
令,即,得,令,即,得,
故函数的单调递增区间为,单调递减区间为,
故当时,函数取得极小值,极小值为.故答案为:.
3.已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程;
(2)求函数的极值与单调区间.
【答案】(1);(2)答案见解析
【分析】(1)由函数,求得,再根据导数的几何意义求解即可;
(2)求得,讨论与0的大小,再根据函数极值点的定义求出函数的极值即可.
【详解】(1)因为,所以,
,
所以曲线在点处的切线方程为:,即
曲线在点处的切线方程为..
(2),当或时,;当时,,
所以函数的递增区间为和,递减区间为,
所以当时函数取得极大值为,当时函数取得极小值为.
考点03:导函数图象与原函数图象的关系
4.设是定义在R上的连续可导函数,其导函数记为,函数的图象如图所示,给出下列判断:
①在上是增函数;???②共有2个极值点;
③在上是单调函数;④.
其中正确的判断共有(???)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】B
【分析】根据图象,判断函数的导数的符号,从而可求函数的单调性及极值.
【详解】解:当时,,由图象可得,则,为增函数;
当时,,由图象可得,则,为减函数;
当时,,由图象可得,则,为减函数;
当时,,由图象可得,则,为增函数,
又是定义在R上的连续可导函数,所以当时,为减函数;
故在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,所以的极大值为,极小值为,由函数在上单调递减,所以,无法判断与的大小关系;
故选:B.
5.已知上的可导函数的图像如图所示,则不等式的解集为_____________
【答案】
【分析】根据图像得到当时,,当时,,时,,代入计算得到答案.
【详解】根据图像:当时,,,即,故;
当时,,,即,故;
当时,,,即,故;
综上所述:.故答案为:
考点04:求已知函数的最值
6.已知函数在区间上最大值为M,最小值为m,则的值是_______.
【答案】
【分析】求导,得到函数的单调性,进而求出最值,得到答案.
【详解】由题意,,,在上,故函数单调递增,所以,,,故的值是.故答案为:
7.设,则函数的最小值是________.
【答案】
【分析】求导根据导函数的正负与原函数的单调性求解最值即可.
【详解】,因为,所以当时,;函数递增
当时,.函数递减;所以当时,.
故答案为:
考点05:已知函数在区间上递增(减)求参数
8.已知函数,若对任意两个不等的正实数,,都有,则实数的取值范围是(????)
A.B.C.D.
【答案】D
【分析】构造函数,则转化得到在上单调递增,将题目转化为在上恒成立,再利用分离参数法即可得到答案.
【详解】由题意,不妨设,因为对任意两个不等的正实数,都有,
所以,即,
构造函数,则,所以在上单调递增,
所以在上恒成立,即在上恒成立,
设,则,所以当时,单调递增,
时,单调递减,所以,所以.故选:D.
9.已知函数,则单调递增的一个充分不必要条件可以是(????)
A.B.C.D.
【答案】B
【分析】对函数求导,根据单调递增有在上恒成立,结合二次函数性质求参数范围,最后由充分必要性定义,即可得答案.
【详解】由且,令,要使单调递增,即恒成立,当时满足题设;当,可得,则,满足题设;综上,使单调递增,则,A为充要条件,B为充分不必要条件,C、D既不充分也不必要条件.故选:B
考点06:已知函数存在单调区间或在区间上不单调求参数
10.若函数在其定义域的一个子区间内不是单调函数,则实数的取值范围是(????)
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】先求出定义域,得到,求导,由,得,结合函数在内不单调,得到不等式,求出答案.
【详解】函数的定义域为,所以,即,,令,得,或(不在定义域内舍去),由于函数在区间内不是单调函数,所以,即,解得,综上可得,.故选:B.
11.若函数在区间内存在单调递增区间,则实数的取值范围是(????)
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】求出函数的导数,问题转化为在有解,进而求函数的最
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