备考2025年中考数学难点突破与经典模型精讲练（全国）专题21 最值问题中的阿氏圆模型(解析版)

专题21最值问题中的阿氏圆模型

【模型展示】

“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。

1、当k值为1时，即为“PA+PB”之和最短问题，用“饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴

对称问题来处理。

2、当k取不为1的正数时，再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须

转换思路。此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类：

点P在直线上运动和点P在圆上运动。其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；

点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。

“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平面上两点A、B，则所有满足PAk·PB（k≠1）的点的

轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。

如图1所示，圆O的半径为r，点A、B都在圆O外，P为圆O上一动点，已知rkOB，连

特点接PA、PB，则当“PA+kPB”的值最小时，P点的位置如何确定？

如图2，在线段OB上截取OC使△BPO与△PCO相似，即k·PBPC。故本题中“PA+k·PB”

的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点

共线时，“PA+PC”值最小，如图3

1、一般将含有k的线段两端点分别与圆心O相连，即连接OB、OP；

2、计算出线段OP与OB及OP与OA的线段比，找到线段比为k的情况

3、连接AC，与圆O的交点即为点P

4、将图2中△BPO单独提取出，如图4，△PCO∽△BPO（母子型相似模型）

（构造出△PCO∽△BPO，就可以得到OC/OPOP/OB，进而推出OP²OB·OC，即“半径的

平方＝原有线段×构造线段”，确定C的位置后，连接AC，求出AC的长度“阿氏圆”即可破解）

结论“PA+k·PB”型的最值

【题型演练】

一、单选题

．如图，在△中，∠＝，＝，＝，以为圆心、为半径作⊙，为⊙上一动

1RtABCACB90°CB7AC9C3CPC

1

点，连接、，则＋的最小值为（）

APBPAPBP

3

A．7B．52C．410D．213

【答案】B

【详解】思路引领：如图，在上截取，使得＝，连接，，．利用相似三角形的性质

CACMCM1PMPCBM

11

证明，可得＝，利用勾股定理求出即可解决问题．

MPPAAP+BPPM+PB≥BMBM

33

答案详解：如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM．

∵PC＝3，CM＝1，CA＝9，

2

∴PC＝CM•CA，

PCCM

∴，

CACP

∵∠PCM＝∠ACP，

∴△PCM∽△ACP，

PMPC1

∴，

PAAC3

1

∴PMPA，

3

1

∴＝，

AP+BPPM+PB

3

∵PM+PB≥BM，

在Rt△BCM中，∵∠BCM＝90°，CM＝1，BC＝7，

∴BM2252，

17

1

∴AP+BP≥52，

3

1

∴AP+BP的最小值为52．

3

故选：B．

二、填空题

ABC

免费下载链接
飞猫云链接地址：https://jmj.cc/s/jn3obj

压缩包解压密码：res.99hah.com_opPL2wmyN6

下载方法：如果您不是飞猫云会员，请在下载页面滚动到最下方，点击“非会员下载”，网页跳转后再次滚动到最下方，点击“非会员下载”。

解压软件：Bandizip