备考2025年中考数学难点突破与经典模型精讲练（全国）专题17 最值问题中的将军饮马模型(解析版)

专题17最值问题中的将军饮马模型

【模型展示】

传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦。一天，一位罗马将军专程去拜

访他，向他请教一个百思不得其解的问题。将军每天从军营A出发，先到河边饮(yìn)马，然后

再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短?从此，这个被称为将军饮马的问题

广泛流传。

特点

实际问题：应该怎样走才能使路程最短?

作图问题：在直线l上求作一点C,

使AC+BC最短问题.

结论AC+BC最短

【模型证明】

(1)现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，

点B的距离的和最短？

解决方案

连接AB,与直线l相交于一点C.

AC+BC最短（两点之间线段最短）

(2)现在假设点A,B分别是直线l同侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，

点B的距离的和最短？

作法：

（1）作点B关于直线l的对称点B′；

（2）连接AB′，与直线l相交于点C．

则点C即为所求．

所作的AC+BC最短吗？请说明理由？

【证明】

如图，在直线l上任取一点C′（与点C不重合），

连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，

BCB′C，BC′B′C′．

∴AC+BCAC+B′CAB′，

AC′+BC′AC′+B′C′．

在△AB′C′中，

AB′＜AC′+B′C′，

∴AC+BC＜AC′+BC′．

即AC+BC最短．

【题型演练】

一、单选题

1．如图，正方形ABCD的边长是4，点E是DC上一个点，且DE＝1，P点在AC上移动，则PE＋PD的

最小值是（）

A．4B．4.5C．5.5D．5

【答案】D

【分析】连接BE，交AC于点N，连接DN，N即为所求的点，则BE的长即为DP+PE的最小值，利用勾

股定理求出BE的长即可．

【详解】解：如图，

∵四边形ABCD是正方形，

∴点B与点D关于直线AC对称，

连接BE，交AC于点N，连接DN，

∴DNBN，

DN+ENBN+ENBD，

则BE的长即为DP+PE的最小值，

∴AC是线段BD的垂直平分线，

又∵CECD-DE4-13，

在Rt△BCE中，

222

BECE+BC25，

∵BE＞0，

∴BE5，

即DP+PE的最小值为5，

故选：D．

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，轴对称-最短路线问题，两点之间，线段最短等知识，将PE+PD

的最小值转化为BE的长是解题的关键．

2．如图，正方形ABCD的边长为4，点M在DC上，且DM1，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值

为（）

A．4B．42C．25D．5

【答案】D

【分析】由正方形的对称性可知点B与D关于直线AC对称，连接BM交AC于N′，N′即为所求在Rt△BCM

中利用勾股定理即可求出BM的长即可．

【详解】∵四边形ABCD是正方形，

∴点B与D关于直线AC对称，

∴DNBN，

连接BD，BM交AC于N′，连接DN′，

∴当B、N、M共线时，DN+MN有最小值，则BM的长即为DN+MN的最小值，

∴AC是线段BD的垂直平分线，

又∵CD4，DM1

∴CMCD-DM4-13，

在Rt△BCM中，BM2222

CMBC345

故

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