备考2025年中考数学难点突破与经典模型精讲练（全国）专题20 最值问题中的构造圆与隐形圆模型(解析版)

专题20最值问题中的构造圆与隐形圆模型

【模型展示】

隐形圆解决点圆最值

平面内一定的D和○O上动点M的连线中，当连线过圆心O时，线段DM有最大值和最小值。

分以下情况讨论：（设ODd，○O的半径为r）

1、点D在○O外时，d＞r，如图：

当D、M、O三点共线时，线段DM出现最值，DM的最大值为d+r，DM的最小值为d-r;

2、当点D在○O上时，dr，如图：

特点

当D、O、M三点共线时，线段DM有最值；DM最大值为d+r，DM最小值为d-r0(即点D与

点M重合）

3、当点D在○O内时，d＜r，如图

当点D、O、M三点共线时，DM有最值；DM最大值为d+r，DM最小值为|d-r|r-d;

点圆最值：平面内一定点到圆上一点的距离的最值问题；

构造圆解决点圆最值

一、定点定长

1、O为定点，OAOB，且长度固定，那么O、A、B三点可以确定一个圆，动点P在圆弧AB

上运动，如图所示，Q为圆外一定点，当P运动到OQ的连线上时，即：P落到P处O、P1、

1

，

Q三点共线时，PQ最小。

二、定弦定角

2、线段AB固定，Q为动点，且∠AQB为定值，那么Q、A、B三点可以确定一个圆，动点Q

在圆弧AB上运动，如图所示，R为圆外一定点，当Q运动到OQ的连线上时，即：P落到P1

处O、P1、Q三点共线时，RQ最小。

，

结论点的距离的最值问题

【题型演练】

一、单选题

1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝4cm，CD是中线，点E、F同时从点D出发，以相

同的速度分别沿DC、DB方向移动，当点E到达点C时，运动停止，直线AE分别与CF、BC相交于G、

H，则在点E、F移动过程中，点G移动路线的长度为（）

2

．．．．

A2BπC2πDπ

2

【答案】D

【详解】解：如图，

∵CA＝CB，∠ACB＝90°，AD＝DB，

∴CD⊥AB，

∴∠ADE＝∠CDF＝90°，CD＝AD＝DB，

在△ADE和△CDF中，

ADCD

ADECDF，

DEDF

∴△ADE≌△CDF（SAS），

∴∠DAE＝∠DCF，

∵∠AED＝∠CEG，

∴∠ADE＝∠CGE＝90°，

∴A、C、G、D四点共圆，

∴点G的运动轨迹为弧CD，

∵AB＝4，AB2AC，

∴AC＝22，

∴＝，

OAOC2

∵DA＝DC，OA＝OC，

∴DO⊥AC，

∴∠DOC＝90°，

9022

∴点G的运动轨迹的长为π．

1802

故选：D．

2．如图，△ACB中，CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，点P为CA上的动点，连BP，过点A作AM⊥BP于M．当

点P从点C运动到点A时，线段BM的中点N运动的路径长

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