备考2025年中考数学难点突破与经典模型精讲练（全国）专题19 最值问题中的费马点模型(解析版)

专题19最值问题中的费马点模型

【模型展示】

费马点：三角形内的点到三个顶点距离之和最小的点

如图，点M为锐角△ABC内任意一点，连接AM、BM、CM，当M与三个顶点连线的夹角为

120°时，MA+MB+MC的值最小

【证明】

以AB为一边向外作等边三角形△ABE，

将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN．

特点

∵△ABE为等边三角形，

∴AB＝BE，∠ABE＝60°．

而∠MBN＝60°，

∴∠ABM＝∠EBN．

在△AMB与△ENB中，

∵，

∴△AMB≌△ENB（SAS）．

连接MN．由△AMB≌△ENB知，AM＝EN．

∵∠MBN＝60°，BM＝BN，

∴△BMN为等边三角形．

∴BM＝MN．

∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．

∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小．

此时，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；

∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°；

∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°．

结论三角形内的点到三个顶点距离之和最小的点

【模型证明】

如图,在锐角△ABC外侧作等边△ACB,连接BB’.

求证:BB过△ABC的费马点P,且BBPA+PB+PC.

解决方案

【证明】

在BB上取点P,使∠BPC120°,连接AP,在PB上截取PEPC,连接CE.

∵∠BPC120°,∴∠EPC60°,

∴△PCE为等边三角形,

∴PCCE,∠PCE60°,∠CEB120°.

∵△ACB为等边三角形,

∴ACBC,∠ACB60°,

∴∠PCA+∠ACE∠ACE+∠ECB60°,

∴∠PCA∠ECB,∴△ACP≌△BCE,

∴∠APC∠BEC120°,PAEB,

∴∠APB∠APC∠BPC120°,

∴P为△ABC的费马点,

∴BB过△ABC的费马点P,且BBEB+PB+PEPA+PB+PC.

如图,在△ABC中,以它的边AB,AC为边,分别在形外作等边三角形ABD,ACE,连接BE,CD.

求证:BEDC.

【证明】

由已知可得ABAD,ACAE,∠BAD∠CAE60°,

∴∠BAD+∠BAC∠CAE+∠BAC,即∠DAC∠BAE.

在△BAE和△DAC中,

∴△BAE≌△DAC,∴BEDC.

【题型演练】

一、单选题

1．数学很多的知识都是以发明者的名字命名的，如韦达定理、杨辉三角、费马点等，你知道平面直角坐标

系是哪一位法国的数学家创立的，并以他的名字命名的吗？（）

A．迪卡尔B．欧几里得C．欧拉

免费下载链接
飞猫云链接地址：https://jmj.cc/s/uz78v5

压缩包解压密码：res.99hah.com_rxqkx4DXIr

下载方法：如果您不是飞猫云会员，请在下载页面滚动到最下方，点击“非会员下载”，网页跳转后再次滚动到最下方，点击“非会员下载”。

解压软件：Bandizip