河南省鹤壁市高中2023-2024学年高二（上）第三次段考数学试卷

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2023-2024学年河南省鹤壁高中高二（上）第三次段考数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1．（5分）已知等比数列{an}，且a1＝1，a5＝5，则a3的值为（）

A．3 B． C． D．

2．（5分）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y＝x＝1有公共焦点，则C的方程为（）

A． B．

C． D．

3．（5分）已知是空间的一个单位正交基底，且，，则与夹角的余弦值为（）

A． B． C． D．

4．（5分）已知直线l1：mx+2y﹣2＝0与直线l2：5x+（m+3）y﹣5＝0，若l1∥l2，则m＝（）

A．﹣5 B．2 C．2或﹣5 D．5

5．（5分）直线2x+y﹣2＝0与曲线（x+y﹣1）＝0的交点个数为（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

6．（5分）已知F1，F2分别为椭圆的两个焦点，P是椭圆E上的点1⊥PF2，且sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，则椭圆E的离心率为（）

A． B． C． D．

7．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）（1﹣x），若数列{an}满足a1＝，且an+1＝，则f（a11）＝（）

A．6 B．﹣6 C．2 D．﹣2

8．（5分）设抛物线y2＝4x的焦点为F，过点M（，0）的直线与抛物线相交于A，与抛物线的准线l相交于点C，BF＝3，则＝（）

A． B． C． D．

二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。每小题有多项符合题目要求）

（多选）9．（5分）已知空间向量＝（1，2，﹣3），＝（2，﹣2，1），下列说法正确的是（）

A．||＝

B．在方向上的投影向量为（﹣，，﹣）

C．

D．在方向上的投影数量为﹣

（多选）10．（5分）已知实数x，y满足方程（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1，则下列说法错误的是（）

A．直线y＝x被圆截得的弦长为

B．x2+y2的最大值

C．的最大值为

D．x+y的最大值为

（多选）11．（5分）已知数列{an}满足a1＝1，，则（）

A．a2＝1 B．

C． D．

（多选）12．（5分）法国数学家加斯帕?蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆的蒙日圆为，分别与C交于P，Q两点，B两点，则下列结论正确的是（）

A．椭圆Γ的离心率为

B．△MPQ面积的最大值为

C．M到Γ的左焦点的距离的最小值为

D．若动点D在Γ上，将直线DA，DB的斜率分别记为k1，k2，则

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．（5分）已知空间中单位向量、，且，则的值为．

14．（5分）已知直线l过点（1，2），且在y轴上的截距为在x轴上的截距的两倍，则直线l的方程是．

15．（5分）已知双曲线C：px2﹣qy2＝r，且p，q，r依次成公比为2的等比数列条．

16．（5分）过抛物线y2＝4x上任意一点P作y轴的垂线，垂足为Q，动点M在直线2x﹣y+2＝0上．

四、解答题（本大题共6小题，第17题10分，其余题12分，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（10分）求适合下列条件的曲线的标准方程：

（1）焦点在y轴上，长轴长等于10，离心率等于；

（2）经过点A（3，﹣1），并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程．

18．（12分）已知圆C经过点A（2，0），与直线x+y＝2相切，且圆心C在直线2x+y﹣1＝0上．

（1）求圆C的方程；

（2）已知直线l经过点（0，1），并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程．

19．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB＝AD＝2BC＝2，E为PD中点．

（1）求证：CE∥平面PAB；

（2）设平面EAC与平面DAC的夹角为45°，求三棱锥E﹣ACD的体积．

20．（12分）记Sn是等差数列{an}的前n项和，若S5＝﹣35，S7＝﹣21．

（1）求{an}的通项公式，并求Sn的最小值；

（2）设bn＝|an|，求数列{bn}的前n项和Tn．

21．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an+1＝λan+4（λ为常数）．

（1）若λ＝3，求{an}的通项公式；

（2）若λ＝1，设数列的前n项和为Tn，求证：?n∈N*，Tn＜1．

22．（12分）已知点A，F分别为双曲线C：x2﹣y2＝a2（a＞

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