云南省大理州大理市下关第一中学2023-2024学年高三下学期联合考试数学试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知数列是公比为的等比数列，且，，成等差数列，则公比的值为（???）
A． B． C．或 D．或
2．已知角的终边与单位圆交于点，则等于（）
A． B． C． D．
3．已知复数z满足,则在复平面上对应的点在()
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．已知函数,则函数的图象大致为（）
A． B．
C． D．
5．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为()
A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．10–10.1
6．若函数，在区间上任取三个实数，，均存在以，，为边长的三角形，则实数的取值范围是（）
A． B． C． D．
7．复数的实部与虚部相等，其中为虚部单位，则实数()
A．3 B． C． D．
8．执行如图所示的程序框图，则输出的的值是（）
A．8 B．32 C．64 D．128
9．已知斜率为2的直线l过抛物线C：的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，若线段AB的中点M的纵坐标为1，则p＝（）
A．1 B． C．2 D．4
10．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）
A． B．4 C． D．
11．记为数列的前项和数列对任意的满足.若，则当取最小值时，等于（）
A．6 B．7 C．8 D．9
12．把满足条件（1），，（2），，使得的函数称为“D函数”，下列函数是“D函数”的个数为（）
①②③④⑤
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若函数，则的值为______.
14．已知函数，若关于的方程恰有四个不同的解，则实数的取值范围是______.
15．设等比数列的前项和为，若，，则__________．
16．已知等比数列满足，，则该数列的前5项的和为______________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）曲线在点处的切线斜率为.
（i）求；
（ii）若，求整数的最大值.
18．（12分）如图，四棱锥的底面中，为等边三角形，是等腰三角形，且顶角，，平面平面，为中点.
（1）求证：平面；
（2）若，求二面角的余弦值大小.
19．（12分）交通部门调查在高速公路上的平均车速情况，随机抽查了60名家庭轿车驾驶员，统计其中有40名男性驾驶员，其中平均车速超过的有30人，不超过的有10人；在其余20名女性驾驶员中，平均车速超过的有5人，不超过的有15人.
（1）完成下面的列联表，并据此判断是否有的把握认为，家庭轿车平均车速超过与驾驶员的性别有关；
平均车速超过的人数
平均车速不超过的人数
合计
男性驾驶员
女性驾驶员
合计
（2）根据这些样本数据来估计总体，随机调查3辆家庭轿车，记这3辆车中，驾驶员为女性且平均车速不超过的人数为，假定抽取的结果相互独立，求的分布列和数学期望.
参考公式：其中
临界值表：
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
20．（12分）若函数在处有极值，且，则称为函数的“F点”.
（1）设函数（）.
①当时，求函数的极值；
②若函数存在“F点”，求k的值；
（2）已知函数（a，b，，）存在两个不相等的“F点”，，且，求a的取值范围.
21．（12分）某公园有一块边长为3百米的正三角形空地，拟将它分割成面积相等的三个区域，用来种植三种花卉.方案是：先建造一条直道将分成面积之比为的两部分（点D，E分别在边，上）；再取的中点M，建造直道（如图）.设，，（单位：百米）.
（1）分别求，关于x的函数关系式；
（2）试确定点D的位置，使两条直道的长度之和最小，并求出最小值.
22．（10分）在平面直
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