第7讲极值与最值问题(原卷版+解析)

第7讲极值与最值问题

方法总结：

1.求极值点的步骤：

（1）筛选：令求出的零点（此时求出的点有可能是极值点）

（2）精选：判断函数通过的零点时，其单调性是否发生变化，若发生变化，则该点为极值点，否则不是极值点

（3）定性：通过函数单调性判断出是极大值点还是极小值点：先增后减→极大值点，先减后增→极小值点

2.在综合题分析一个函数时，可致力于求出函数的单调区间，当求出单调区间时，极值点作为单调区间的分界点也自然体现出来，并且可根据单调性判断是极大值点还是极小指点，换言之，求极值的过程实质就是求函数单调区间的过程。

3.对于在定义域中处处可导的函数，极值点是导函数的一些零点，所以涉及到极值点个数或所在区间的问题可转化成导函数的零点问题。但要注意检验零点能否成为极值点。

4.极值点与函数奇偶性的联系：

（1）若为奇函数，则当是的极大（极小）值点时，为的极小（极大）值点

（2）若为偶函数，则当是的极大（极小）值点时，为的极大（极小）值点

5.利用导数求函数的最值步骤:

一般地，求函数在上的最大值与最小值的步骤如下：

（1）求在内的极值；

（2）将的各极值与端点处的函数值、比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数在上的最值

6.求函数最值的过程中往往要利用函数的单调性，所以说，函数的单调区间是求最值与极值的基础

7.最值点的作用

（1）关系到函数的值域

（2）由最值可构造恒成立的不等式

典型例题：

例1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，．

(1)求的最小值；

(2)求证：；

(3)若，求的最小值．

例2．（2023·全国·高三专题练习）设函数．

(1)若曲线在点，（2）处的切线斜率为0，求；

(2)若在处取得极小值，求的取值范围；

(3)在（2）的条件下，求证：没有最小值．

例3．（2023·全国·高三专题练习（理））已知函数f(x)＝xex－a(x＋lnx)．

(1)讨论f(x)极值点的个数；

(2)若x0是f(x)的一个极小值点，且f(x0)0，证明：f(x0)2(x0－)．

例4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数为自然对数的底数．

(1)当时，证明：函数只有一个零点；

(2)若函数存在两个不同的极值点，求实数a的取值范围．

过关练习：

1．（2023·全国·高三专题练习）设函数．

(1)求的单调区间和极值；

(2)若对一切，，求的最大值．

2．（2023·全国·高三专题练习（理））设函数．

(1)若，求的单调区间；

(2)若存在三个极值点，且，求的取值范围，并证明：．

3．（2023·浙江·慈溪中学高三阶段练习）已知函数（是自然对数的底数）.

(1)若，证明：在区间上不存在零点；

(2)若，函数有两个极值点，.

（i）求实数的取值范围；

（ii）证明：

4．（2023·福建三明·高三期末）已知函数．

(1)讨论的单调性；

(2)若函数有两个不大于的极值点，证明：．

5．（2023·浙江·模拟预测）已知，函数．

(1)证明：有两个极值点；

(2)在（1）的条件下，若，证明：．

注：为自然对数的底数．

6．（2023·天津市红桥区教师发展中心高三期末）设函数有两个极值点，且

(1)求a的取值范围;

(2)讨论的单调性；

(3)证明:

7．（2023·四川·高三学业考试）已知函数.

(1)求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

(2)若函数在区间（2，3）中至少有一个极值点，求实数a的取值范围.

8．（2023·重庆·高三开学考试）已知函数．

(1)讨论的单调性；

(2)设，是否存在不小于的实数，使得不是的极值点？若存在，求实数的值；若不存在，说明理由．

9．（2023·江苏·苏州中学高三开学考试）已知函数f(x)＝ax2＋xlnx－ex，其中e是自然对数的底数．

(1)求证：当时，函数f(x)是减函数；

(2)若函数f(x)存在极值，求实数a的取值范围．

10．（2023·湖北·荆州中学高三开学考试）已知，．

(1)讨论的单调性；

(2)若有两个零点．

（ⅰ）求实数的取值范围；

（ⅱ）是的极值点，求证：．

11．（2023·山东菏泽·高三期末）设函数.

(1)求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

(2)求函数在区间上的最大值和最小值.

12．（2023·山西晋中·模拟预测（文））已知函数．

(1)讨论函数的单调性；

(2)若对于任意的，都有，求整数的最大值．

13．（2023·全国·高三专题练习）已知，，若函数在，上的最大值和最小值分别记为，，求的值.

14．（2023·河南濮阳·高三开学考试（文））已知函数．

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)证明：在上存在最大值和最小值．

15．（2023·江苏泰州·高三期末）已知函数为自然对数的底数

(1)求在处

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