专题1

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专题1.1幂的运算【八大题型】

【北师大版】

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【题型1利用幂的运算法则进行简便运算】 1

【题型2利用幂的运算法则求式子的值】 3

【题型3利用幂的运算法则比较大小】 5

【题型4利用幂的运算法则整体代入求值】 8

【题型5利用幂的运算法则求字母的值】 9

【题型6利用幂的运算法则表示代数式】 11

【题型7幂的混合运算】 14

【题型8新定义下的幂的运算】 15

【知识点1幂的运算】

①同底数幂的乘法：am·an=am+n。同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

②幂的乘方：(am)n=amn。幂的乘方，底数不变，指数相乘。

③积的乘方：(ab)n=anbn。积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

④同底数幂的除法：am÷an=am-n。同底数幂相除，底数不变，指数相减。

【题型1利用幂的运算法则进行简便运算】

【例1】（2023春·河北保定·七年级校联考期末）用简便方法计算：

(1)45

(2)?93

【答案】(1)5

(2)8

【分析】（1）先将小数化为分数，再根据同底数幂的运算法则进行计算即可；

（3）根据乘法结合律和积的乘方逆运算，先计算后两项乘积，再求解即可．

【详解】（1）解：原式=

=

=

=1×

=5

（2）解：原式=

=

=

=

=8．

【点睛】本题主要考查了有理数混合运算的简便运算，解题的关键是掌握有理数范围内依旧适用各个运算律，以及熟练运用同底数幂的运算法则．

【变式1-1】（2023春·山东烟台·六年级统考期中）计算?5

A．1 B．?1 C．54 D．

【答案】D

【分析】根据积的乘方的逆运算，即可得到答案．

【详解】解：?

=?

故选：D．

【点睛】本题考查了积的乘方，同底数幂的乘法，解题的关键是积的乘方运算的逆运用进行化简．

【变式1-2】（2023春·上海杨浦·七年级统考期中）用简便方法计算：?

【答案】500000

【分析】根据积的乘方即可求出答案．

【详解】原式=

=（3×

【点睛】本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．

【变式1-3】（2023春·上海·七年级上海市西延安中学校考期中）简便方法计算：

(1)32

(2)(?1.5)

【答案】(1)2023

(2)1.5

【分析】（1）先变形，再利用乘法分配律合并计算；

（2）先逆用同底数幂的乘法变形，再逆用积的乘方二次变形，再计算即可．

【详解】（1）解：3

=

=34×20.23+87×20.23?21×20.23

=

=100×20.23

=2023；

（2）?1.5

=

=

=

=1.5

【点睛】本题考查了乘法分配律，积的乘方和同底数幂的乘法，解题的关键是灵活运用公式．

【题型2利用幂的运算法则求式子的值】

【例2】（2023春·江苏宿迁·七年级校考期中）若xm=2，xn=5

【答案】8

【分析】逆用同底数幂的除法公式及幂的乘法公式，化成已知条件的形式，再计算即可求解.

【详解】解：x3m?2n

故答案为：825

【点睛】本题考查同底数幂的除法及幂的乘法公式的逆运算，熟练掌握公式后再灵活变通是解题关键.

【变式2-1】（2023春·四川自贡·七年级四川省荣县中学校校考阶段练习）已知2a=18，2b=3，则

【答案】4

【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则将原式变形进而得出答案．

【详解】：∵2a=18，2b=3，

∴2a-2b+1

=2a÷（2b）2×2

=18÷32×2

=4．

故答案为：4．

【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘除运算，解题关键是将原式进行正确变形．

【变式2-2】（2023春·广东深圳·七年级深圳外国语学校校考期中）已知x3m=2，y

【答案】-5

【分析】直接利用积的乘方运算法则以及幂的乘方运算法则计算得出答案．

【详解】∵x3m

x

=

=

=

=?5.

【点睛】考查单项式乘单项式，幂的乘方与积的乘方，掌握运算法则是解题的关键.

【变式2-3】（2023春·浙江温州·七年级温州市第二十三中学校考期中）已知整数a、b、c、d满足a＜b＜c＜d且

【答案】2

【分析】根据3不是10000的公约数，可得b=0，由10000=24×54=42×54

【详解】∵10000=2

∴3

则b=0

∴2

∵整数a、b、c、d满足a

∴10000=2

∴a=-2，b=0，c=3，d=4

∴4a+3b+2c+d=-8+0+6+4=2

故答案为：2．

【点睛】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知幂的运算法则及特点．

【题型3利用幂的运算法则比较大小】

【例3】（2023春·浙江杭州·

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