2023级高二年级第一学期第二次考试数学科试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.直线的倾斜角为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出给定直线的斜率，进而求出倾斜角.
直线的斜率，则该直线的倾斜角为.
故选：B.
2.已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则（）
A. B.3 C.4 D.5
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可知：，根据共轭复数的概念以及乘法运算求解.
由题意可知：，所以.
故选：D.
3.有一组样本数据、、、，由这组数据得到新样本数据、、、，其，为非零常数，则下列说法正确的是（）
①两组样本数据的样本平均数相同②两组样本数据的样本中位数相同
③两组样本数据的样本标准差相同④两组样本数据的样本极差相同
A.③④ B.②③ C.②④ D.①③
【答案】A
【解析】
【分析】利用平均数公式可判断①；利用中位数的定义可判断②；利用标准差公式可判断③；利用极差的定义可判断④.
对于①，设数据、、、的平均数为，数据、、、的平均数为，
则
，故①错；
对于②，设数据、、、中位数为，数据、、、的中位数为，
不妨设，则，
若奇数，则，；
若为偶数，则，.
，故②错；
对于③，设数据、、、的标准差为，数据、、、的标准差为，
，故③对；
对于④，不妨设，则，
则数据、、、的极差为，
数据、、、的极差为，故④对.
故选：A.
4.如图，在正方体中，分别为的中点，则直线和夹角的余弦值为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，根据向量夹角的余弦公式求解即可．
分别以所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，则，
所以
设向量与的夹角为，
则，
所以直线和夹角的余弦值为，
故选：C．
5.已知向量、满足，，，则在上的投影向量为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用平面向量数量积的运算性质求出的值，再利用投影向量的定义可求得在上的投影向量.
因为向量、满足，，，
则，可得，
所以，在上的投影向量为.
故选：D.
6.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知的面积为，则的值为（）
A. B. C.2 D.4
【答案】D
【解析】
【分析】利用三角形的面积公式和余弦定理即可求解.
因为的面积为，所以，
又∵，∴，则，
故选:D.
7.在四面体中，，，，若点为的重心，则点到直线的距离为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】以射线，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，应用向量法求距离.
由题意知，在四面体中，，，两两互相垂直，
如图，以为原点，以射线，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系.
∵，，，，
∴A1,0,0，，，，，
∴，，
，
，
∴点到直线的距离.
故选：D
8.先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次出现的点数记为，第二次出现的点数记为，则下列事件发生的可能性最小的是（）
A. B.
C. D.方程有实数解
【答案】A
【解析】
【分析】利用古典概型的概率公式求出各选项中事件的概率，即可得出合适的选项.
样本空间中样本点的个数为个，以表示样本空间中的一个样本点，
对于A选项，记事件“”，
则，所以；
对于B选项，记事件“”，
则，所以；
对于C选项，记事件“”，
则，所以，；
对于D选项，记事件“方程有实数解”，则，
则，所以，.
所以A选项中的事件发生的概率最小.
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的部分分，有选错的得0分.
9.下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（）
A.两条不重合直线，的方向向量分别是，，则
B.两个不同的平面，的法向量分别是，，则
C.直线的方向向量，平面的法向量是，则
D.直线的方向向量，平面的法向量是，则
【答案】AB
【解析】
【分析】运用空间线线平行，线面平行，线面垂直，面面垂直的向量证明方法,结合向量平行垂直的坐标结论，逐个判断即可.
两条不重合直线，的方向向量分别是，，则，所以，A正确；
两个不同的平面，的法向量分别是，，则，所以，B正确；
直线的方向向量，平面的法向量是，则，所以或，C错误；
直线的方向向量，平面的法向量是，则，所以，D错误．
故选：AB
10.对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，记事件为“两次都击中飞机”，事件为“两次都没击中飞机”，事件为“恰有一次击中飞机”，事件为“至少有一次击中飞机”，则（）
A
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