第一次数学危机

*4）无理数像这样的数，和其它一些不能表成整数比的数，称为无理数。称两个整数之比为有理数，而把那样的一类数叫做无理数，即没有道理的数，原来是翻译出了问题。*rationalnumber是有理数的英文名称，而rational是一个多义词，含有“比的”，“有理的”意思。而词根ratio来自希腊文，完全是“比”的意思。对“rationalnumber”正确的翻译应该是“比数”。“比数”的名称才正确反应了这类数是两个整数之比的内涵。人类在认识有理数之前，唯一知道的是自然数。那时所谓的“数”，都是自然数。把由自然数产生的数叫做比数，其实才符合古人的原意。*在东方，最早把rationalnumber翻译过来的是日本人。可能是那个日本人英文不好，数学又不太懂，把它翻译成“有理数”。而日本文字又和汉字形似，于是中国人把这三个字照搬过来，沿用至今，形成习惯。如果正确地把两个整数之比叫做“比数”，那么像一类的数称为“非比数”，还是颇有道理的。*2.“两个量的比相等”的新定义——部分地消除了危机*两个量的比相等，即。约公元前370年，希腊数学家欧多克索斯和阿契塔的定义：“称四个量的第一个和第二个之比与第三个和第四个之比相等，如果取第一个和第三个量的任何相同的倍数，第二个和第四个量的任何其他的相同倍数后，从第三个量的倍数大于、等于或小于第四个量的倍数，便有第一个量的倍数对第二个量的倍数的相应关系”。*“两个量的比相等”的这一定义，是正确的、严格的，部分地解决了危机，使几何的基础牢靠了，几何从全部数学中脱颖而出。欧几里得的几何《原本》中也采用了这一定义，以致在以后的近二千年中，几何变成了几乎是全部严密数学的基础。但是彻底解决这一危机是在19世纪，依赖于数系的扩充和实数理论的建立。*3.无理数与数系的扩张——危机的解决1）有理数的稠密性定义：“一个数集在数轴上是稠密的”是指，在数轴上，每一个不管处于什么位置，也不论是多么小的区间（,）中都存在着这个数集中的点。定理：有理数集在数轴上是稠密的。*2）数轴①古代观点：数轴?有理数②现代观点：数轴?实数*3）数系的扩张——危机的解决①自然数系②有理数系③实数系*实数系具有连续性。有理数系具有稠密性,却不具有连续性。数系的连续性和稠密性是两个不同的概念。数系的稠密性，通俗说成“到处都有”、“密密麻麻”；数系的连续性，通俗说成“一个挨一个”、“针插不进，水泼不进”。连续性是一个很好的性质。但是对“数系的连续性”的概念，给出严格的数学定义，就那么容易了。数系扩张为实数系以后，第一次数学危机就彻底解决了。因为数的范围扩充以后，“万物皆数”的命题就是正确的了；不能表成整数比的数，即无理数，也是实数系中的数了。**[思]：能说“任何两个有理数之间都有无理数”吗？为什么？*四、反证法与无理数1.反证法1）反证法的威力*例：有数学书、物理书、外语书共十本。证明：在这三种书籍中，有一种书籍至少有四本。穷举法：数学书10998887777…0…0物理书0010120123…0…10外语书0102103210…10…0反证法：*2）反证法的依据和步骤依据：逻辑里的“排中律”（命题A与命题非A中，必有一个是正确的）。步骤：否定原命题?→?推导出矛盾?→?原命题成立。3）哈代对反证法的评论“反证法是远比任何弃子术更为高超的一种策略。棋手可以牺牲的只是几个棋子，而数学家可以牺牲整个一盘棋。”**2.定理

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