模块六立体几何大招4内切球与球的相切问题的临界处理

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大招4??内切球与球的相切问题的临界处理

1．内切球与球的相切问题

对于内切球与球的相切问题，无论是柱体切球、锥体切球、台体切球、某几何体中能放的最大球、还是球与球相切，我们处理此类问题的基本逻辑都是去寻找这些几何体之间刚好卡住的临界情况，并且根据此情况直接找空间关系或找一个特殊截面转化为平面问题，从而解决问题．

2．求内切球半径的两种方法

①等体积法：先将几何体（一般为棱锥）的内切球球心与几何体各个顶点用线段连接，如图所示，运用等体积法就有（，，…为几何体各表面的面积），于是就有，其中r为几何体内切球的半径，V为几何体的体积，S为几何体的表面积．

②平面化：通过找特殊截面（一般为球的截面刚好与几何体截面相切的截面），将立体几何问题转化为平面问题，从而通过求得某几何图形的内切圆半径，求出原问题中内切球的半径．

【典例1】将一个棱长为4的正四面体同一侧面上的各棱中点两两连接，得到一多面体，则这个多面体的内切球体积为（）

A．????B．????C．????D．

【大招指引】确定正八面体的结构特征，即由棱长为2的两个正四棱锥构成，且正四棱锥的底面为边长为2的正方形，求出正四棱锥的高，根据等体积法求解内切球的半径，即可算出内切球的体积.

【解析】由题意知该几何体为正八面体，且正八面体的棱为原正四面体每个侧面三角形的中位线，

故正八面体由棱长为2的两个正四棱锥构成，正四棱锥的底面是边长为2的正方形，

设正八面体内切球半径R，给正八面体标出字母如图所示，

连接AC和BD交于点O，因为，，所以，，

又AC和BD交于点O，平面ABCD，所以平面ABCD，

所以O为正八面体的中心，所以O到八个面的距离相等，距离即为内切球半径，

设内切球与平面EBC切于点H，所以平面EBC，

所以OH即为正八面体内切球半径，所以，

因为正八面体的棱长为2，所以，，，

所以，，

因为，，

所以，即，

所以正八面体内切球的体积为.

故选：D.

【题后反思】多面体的外接球（内切球）问题解题关键是找球心和半径，求半径的方法有：

①公式法；②多面体几何性质法；③补形法；（④寻求轴截面圆半径法；⑤确定球心位置法．

【温馨提醒】在正四面体中要注意以下几个重要结论：（1）棱长为a的正四面体，其每个面的三角形的高为，正四面体的高为，外接球的半径为，内切球的半径为；（2）求棱锥内切球的半径，可以根据球心到各个面的距离相等以及棱锥的等体积法列式得出．

【举一反三】

1．棱长为的正四面体的内切球半径为．

【典例2】已知一圆锥底面圆的直径是，圆锥的母线长为，在该圆锥内放置一个棱长为的正四面体（每条棱长都为的三棱锥），并且正四面体可以在该圆锥内任意转动，则的最大值为（）

A．????B．????C．????D．

【大招指引】根据题意，该四面体内接于圆锥的内切球，通过内切球即可得到a的最大值．

【解析】依题意，四面体可以在圆锥内任意转动，故该四面体内接于圆锥的内切球，

设球心为P，球的半径为r，下底面半径为R，轴截面上球与圆锥母线的切点为Q，圆锥的轴截面如图：

由已知AB＝SA＝SB＝

所以三角形SAB为等边三角形，故P是△SAB的中心，

连接BP，则BP平分∠SBA，∴∠PBO＝30°；

所以tan30°＝，即，

即四面体的外接球的半径为．

另正四面体可以从正方体中截得，如图：

从图中可以得到，当正四面体的棱长为a时，截得它的正方体的棱长为，

而正四面体的四个顶点都在正方体上，

故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球，

所以，

所以．

即a的最大值为．

故选：B．

【题后反思】本题考查了正四面体的外接球，将正四面体的外接球转化为正方体的外接球，是一种比较好的方法，本题属于难题．

【举一反三】

2．已知一圆锥底面圆的直径为，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则的最大值为．

3．若正四面体的所有棱长均为，则正四面体的（????）

A．表面积为 B．高为 C．体积为 D．内切球半径为

4．“正三角形的内切圆半径等于此正三角形的高的”，拓展到空间，类比平面几何的上述结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的（????）

A． B． C． D．

5．已知正三棱锥和正四棱锥的所有棱长均为2，如图将三棱锥的一个面和正四棱锥的一个侧面重合在一起，得到一个新几何体，则下列关于该新几何体说法不正确的是（????）

A． B．

C．新几何体为三棱柱 D．正四棱锥的内切球半径为

6．棱长为2的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这些小

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