大招10裂项相消法

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大招10裂项相消法

1．裂项相消求和的基本原理

①如果数列满足（），则其前项和将会满足，这种求和方法称为一阶裂项相消求和．

②如果数列满足（），则其前项和将会满足，这种求和方法称为二阶裂项相消求和．

同理，我们还可以探讨更高阶的裂项相消求和，但是一般只考查到二阶，这里就不展开了．下面我们来看常见的裂项式．

2．分式裂项

①（）（阶裂项）；

②（一阶裂项）；

③（一阶裂项）．

3．根式裂项

（）（阶裂项）；

4．分指裂项

①（一阶裂项）；

②（一阶裂项）；

③（一阶裂项）．

【典例1】已知在等差数列中，，．

（1）求的通项公式；

（2）求数列的前项和Sn．

【大招指引】（1）根据等差数列性质和通项公式可求得公差，代入通项公式即可求得；

（2）采用裂项相消法可求得Sn

【解析】（1）设等差数列的公差为，

，，，

.

（2）由（1）得：，

.

【题后反思】对于分式型数列求和，裂项相消法是一种常用方法，其实质是分式通分的逆运算，搞清实质后，前面的系数就容易确定.

（1）【温馨提醒】常见的分式型裂项相消的公式：

公式一：；

式二：

公式三：

【举一反三】

1．已知数列是公差为的等差数列，且，若16和26分别是中的项.

(1)当取最大值时，求通项；

(2)在（1）的条件下，求数列的前n项和.

【典例2】定义“等方差数列”：如果一个数列的各项都是实数，且从第二项起，每一项与它前一项的平方差是相同的常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的公方差．已知各项均为正数的数列是等方差数列，且公方差为，，则数列的前33项的和为（）

A．3????B．6????C．2????D．4

【大招指引】根据数列是等方差数列，且公方差为3，得到，再利用等差数列通项公式求得，从而得到求解.

【解析】因为数列是等方差数列，且公方差为3，

所以，又，

所以，

又数列的各项均为正数，所以，

所以，，

所以，

，

故选：A．

【题后反思】对于含有根式的分式型数列求和，裂项相消法是一种常用方法，其实质是无理式的分母有理化.

【温馨提醒】根式型裂项常见公式：

公式一：）；

公式二：）

【举一反三】

2．已知数列的前项和满足，且.

(1)求数列的通项公式；

(2)求证：.

【典例3】已知数列满足，求数列的前项和．

【大招指引】由递推关系式结合等比数列通项公式可得，再由裂项相消求和可得，利用数列的函数特性可得.

【解析】因为

（一阶裂项），所以

【题后反思】解决本题的关键是将通项中的分母变形为，进而再利用分式的逆运算进行裂项.

【温馨提醒】指数型裂项常见公式：

公式一：-

公式二：-

公式三：

【举一反三】

3．已知数列满足.记数列的前n项和为.若对任意的，都有，则实数k的取值范围为（????）

A． B．

C． D．

【典例4】对于实数x，表示不超过x的最大整数.已知数列的前n项和为，且，，则数列的前1000项和为（）

A．1890????B．1891????C．1893????D．1896

【大招指引】利用裂项相消法求和得到，从而得到时，，时，，时，，当时，，进而求和即可.

【解析】因为，

所以，

当时，，此时；

当时，，此时；

当时，，此时；

当时，，此时．

所以数列的前1000项和为.

故选：D．

【题后反思】利用对数的运算性质得到，是解决本题的关键.

【温馨提醒】对数型裂项常见公式：

【举一反三】

4．已知为等差数列，前n项和为，，是首项为2的等比数列，且公比大于0，，，.

(1)求和的通项公式；

(2)设，，，求；

(3)设，其中.求的前2n项和.

【典例5】2022年11月8日，著名华人数学家张益唐教授以视频方式作学术报告，与北大数学师生分享他围绕“朗道—西格尔零点猜想”所做的研究工作，他在“大海捞针”式的研究过程中提出的新想法是基于一个简单的代数恒等式：.已知数列的通项公式为，则其前9项的和等于（）

A．13280????B．20196????C．20232????D．29520

【大招指引】先变形得到，再利用裂项相消法求和即可.

【解析】，则

.

故选：B.

【题后反思】对于多项式形式的裂项相消法求和时要注意变形后的前后项的联系，如本题中，变形后前后两项的底数均为相邻正整数相乘.

【温馨提醒】利用裂项相消法求和的注意事项：

（2）抵消后不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能是前面剩两项，后面也剩两项，也有可能是间隔开的项剩下，一般来说是对称的.

将通项裂项后，一定要注意调整前面的系数，避免失误.

【举一反三】

5．（1）求（）；

（2）求（）（个数的平方和以及立方和公式可以通

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