专题14空间向量与立体几何
（思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错）
知识点1空间向量的线性运算及有关定理
1、空间向量的有关概念
（1）空间向量：在空间中，具有大小和方向的量；
（2）相等向量：方向相同且模相等的向量；
（3）相反向量：方向相反且模相等的向量；
（4）共线向量(或平行向量)：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量；
（5）共面向量：平行于同一个平面的向量
2、空间向量的线性运算
（1）空间向量的加减法
空间中任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法（如下图）．
空间向量加减法的运算律：交换律；结合律．
（2）空间向量的数乘：实数与空间向量的乘积仍是一个向量，称为向量的数乘运算．
当QUOTE时，QUOTE与QUOTE方向相同；当QUOTE时，QUOTE与方向相反；当QUOTE时，QUOTE．
QUOTE的长度是的长度的倍．
空间向量数乘的运算律：分配律；结合律．
3、空间向量的有关定理
（1）共线向量定理：对空间任意两个向量，，的充要条件是存在实数，使得.
（2）共面向量定理：如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使.
（3）空间向量基本定理：如果三个向量，，不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组{x，y，z}，使得，其中，叫做空间的一个基底．
知识点2两个向量的数量积及其运算
1、空间向量的数量积及运算律
（1）数量积及相关概念
①两向量的夹角：已知两个非零向量，，在空间任取一点O，作，，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，其范围是[0，π]，
若，则称与互相垂直，记作.
②非零向量，的数量积．
（2）空间向量数量积的运算律
①结合律：；
②交换律：；
③分配律：.
2、空间向量数量积的坐标表示及其应用
设，，
向量表示
坐标表示
数量积
共线
，，
垂直
模
夹角
知识点3空间中的平行与垂直的向量表示
1、直线的方向向量和平面的法向量
（1）直线的方向向量：如果表示非零向量的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量为直线l的方向向量．
（2）平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量，则向量叫做平面α的法向量．
2、空间位置关系的向量表示
位置关系
向量表示
直线l1，l2的方向向量分别为，
直线l的方向向量为，平面α的法向量为
平面α，β的法向量分别为，
知识点4利用空间向量求空间角
1、异面直线所成角
设异面直线a，b所成的角为θ，则，其中，分别是直线a，b的方向向量．
2、直线与平面所成角
如图所示，设l为平面α的斜线，l∩α＝A，为l的方向向量，为平面α的法向量，
φ为l与α所成的角，则.
3、二面角
（1）若AB，CD分别是二面角α-l-β的两个平面内与棱l垂直的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就是向量与的夹角，如图a.
（2）平面α与β相交于直线l，平面α的法向量为，平面β的法向量为，，则二面角α-l-β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则，如图b，c.
知识点5利用空间向量求空间距离
1、点到直线的距离
已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，
设向量eq\o(AP,\s\up6(→))在直线l上的投影向量为eq\o(AQ,\s\up6(→))＝a，则点P到直线l的距离为eq\r(a2－?a·u?2)(如图)．
2、点到平面的距离
已知平面的法向量为,是平面内的任一点，是平面外一点，
过点作则平面的垂线，交平面于点，
则点到平面的距离为（如图）.
3、线面距和面面距
线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解．
（1）直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量．
（2）两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。
重难点01利用空间向量解决探索性问题
利用空间向量解决立体几何的探索性问题思路：
（1）根据题设条件的垂直关系，建立适当空间直角坐标系，将相关点、相关向量用坐标表示。
（2）假设所成的点或参数存在，并用相关参数表示相关点的坐标，根据线、面满足的位置关系、数量关系，构建方程（组）求解，若能求出参数的值且符合该限定的范围，则存在，否则不存在．
【典例1】（24-25高三上·江苏扬州·月考）如图，且且且，平面，．
(1)证明：；
(2)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出点的位置，若不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析；(2)存在，
【解析】（1）因为且，所以四边形为平行四边形，
又，所以四边形为菱形，所以.
因为平面，平面，所以，
又，平面，，所以平面，
又平面，所以，
又，平面，，所以平面，
又平面，
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