高中数学方法原本-第1卷第4章

第四章：解三角形系统方法论

在平面几何中,所有对封闭多边形问题的探究归根结底都是对三角形的探究,故而对本章掌握的

熟练程度将直接决定对平面几何问题的处理速度.提起平面几何,我们必须要知道欧几里得

(Еик,古希腊著名数学家,被称为“几何之父”,约公元前330年公元前275年)在《几何原本》

(兰纪正等译)一书中（第二页）提出的如下五大公设:

公设1由任意一点到另外任意一点可以画直线.

公设2一条有限直线可以继续延长.

公设3以任意点为心及任意的距离可以画圆.

公设4凡直角都彼此相等.

公设5同平面内一条直线和另外两条直线相交,若在某一侧的两个内角的和小于二直角的和,则

这二直线经无限延长后在这一侧相交.

另外,在我看来解三角形如此有趣及充满挑战的原因是其从底层高度融合地涉及到以下五大版

块的内容:平面几何基本性质、三角形独有的一些结论（特征）、三角函数及三角恒等变换所

有知识点、基础不等式几乎所有内容及平面几何的实际应用,正因为此解三角形一直以来都是

高考及强基中的热门考点及必考点.

本章我们将系统探究解三形的所有理论知识及其运用,并对其中的重难点进行务实的深度探究.

第01讲：几何原本下的三角形基本定理

在本讲一开始我们直接降维论述《几何原本》中有关三角形的几个重要的命题(与《几何原本》

中的证明不完全相同,感兴趣的读者可以去了解原著本身）。

命题1.1:在任意三角形中,若延长一边,则外角大于任何一个内对角(《几何原本》中的命题16).

命题证明:如图所示,在△,延长边至点点的中点,连接并延长至点使

=,根据《几何原本》中的命题4(全等命题)知必有

△≅△

进而有/,继而有

∠=∠+∠=∠+∠

∠∠∠∠

从而有且,用完全相同逻辑可证明其它情形,证毕.

命题1.2:在任意三角形中，任意两角之和小于两直角（《几何原本》中的命题17）.

命题1.3:在任意三角形中,大边对大角（《几何原本》中的命题18）.

△=

命题证明:如图所示,在中,若,可在上取一点使得,根据《几何原本》

中的命题6(等边对等角)知

∠=∠

再由命题1.1知

∠∠

于是有

∠∠

又因为∠∠故而有∠∠∠

证毕.

命题1.4:在任意三角形中,大角对大边（《几何原本》中的命题19）.

命题1.5:在任何三角形中，任意两边之和大于第三边（《几何原本》中的命题20）.

△=

命题证明:如图,在中,延长至使,然后再连接,根据《几何原本》中的命题

6(等边对等角)知

∠=∠

进而有

∠=∠+∠∠=∠

根据《几何原本》中的命题19(大角对大边)知

最终有

+=+=

证毕.

我们都知道判断三角形是否存在及三角形形状是一个非常重要的问题,以下例题便是经典代表

之一.

例1.已知△三边长分别为则以下四个命题中所有的真命题编号是____

(1)以边长的三角形一定存在;

(2)以2,2,2为边长的三角形一定存在;

333

(3)以,,为边长的三角形一定存在;

(4)以|−+|−+|−+边长的三角形一定存在.

2

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