高中数学方法原本-第1卷第3章

第三章：三角函数系统方法论

众所周知,三角学的英文单词trigonometry是三角形的单词triangle和测角术的单词goniometry

的组合体,意为三角形的测量.主流观点认为三角学是由亚力山大时期的天文学家、数学家希帕

恰斯(Hipparchus,约公元前190年前125年）在前人研究的基础上所开创的.

毕达哥拉斯(Pythagoras)、阿利斯塔克(Aristarchus)、阿尔.哈瓦里兹米(al-Khwarizmi)、梅涅劳斯

(Menelaus)、托勒密(ClaudiusPtolemaeus)、科佩尔尼库斯(NicolausCopernicus)、欧拉

(LeonhardEuler)、拉格朗日(Lagrange)等一众数学巨人曾为三角学作出过卓越的贡献.

本章我们将站在务实的视角对高中三角函数基础知识、性质及运用进行系统探究.

第01讲：三角函数求值方法论

在本讲的一开始我们来简单认识一下特值思想在三角函数求值中的运用.德国著名数学家戴维⋅

希尔伯特(Hilbert曾如是说:“在讨论数学问题时,我相信特殊化比一般化起着更为重要

的作用.我们寻找一个问题的答案而未能成功的原因,就在于这样的事实,即有一些比手头问题更

简单、更容易的问题没有完全解决,或是完全没有解决.这一切都赖于找出这些比较容易的问题,

并用尽可能完善的方法和能够推广的概念来解决它们.,通过希尔伯特的描述,我们不难发现特值

思想的重要性.

命题1.1:特值思维理论逻辑特值思维法解题的逻辑基础有两条:(I)若对一般情形成立,则对其

中的特殊情形也必成立;(II)若对某特殊情形不成立,则对一般情形也必不成立.

例1.求值:

222

(1)sin +sin ++sin −=＿＿＿＿

33

52

△cos 2+cos =sin +⋅sin −+sin =

(2)在中,则＿＿＿＿

233

(3)在△,三边长满足+=3则tan tan 的值为＿＿＿＿

22

4∘4∘4∘

(4)sin 10+sin 50+sin 70=＿＿＿＿

解析：

22

333

=0=0++=

第一问:显然题干中的是任意的,不妨取,从而有LHS.

222

2

533

第二问:我们不妨使=,从而有cos 2+cos ==,解得=.

32243

2

第三问:我们不妨使==3,则有=

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