地球物理反演方法作业及答案

Homework1:basedonAppendixA

1.Normofthevector（矢量的范数）

在欧式空间下，矢量可以表示为：

a

与三维空间中矢量长度的定义类似，我们引入了n维欧式空间中矢量的范数，表示为：

a

当矢量a是由实数组成时，a的范数a始终是一个非负的值。显然，a的范数即为a与其自身的内积的平方根。

2.Operator;Linearoperator（算子；线性算子）

在欧式空间中，对任意一个矢量a，我们通过某种规律的作用使其对应到同在欧式空间中的某个矢量a’，即：

a

我们就将这种规律称之为算子A。

对欧式空间中的任意两个矢量a1和a2，以及任意两个标量α1

A

成立，那么我们就称算子A是一个线性算子。

3.Giveanexampleofoperatorbehavioringeophysics（举出一个地球物理中的算子例子）

地震走时层析是一种常用的地震反演手段，其基本原理就是利用地震射线的路径与走时来建立观测时间与地下速度参数模型的关系。

假设地下模型由矩形网格组成，每个网格内的慢度Si为一个定值。那么，当震源设定好之后（假设震源和检波器都设置在模型边界），单个检波器接收到的走时T

T

其中，Li

那么，对所有检波器接收到的走时数据，我们可以建立如下方程：

T=LS

其中

T

S是m*n行的列向量，代表模型依次每个网格的慢度。L是一个k行m*n列的矩阵，k是检波点的个数（即射线数量）。

因此，在求取地下模型速度信息的反演过程中，确定和构建矩阵L就成为了关键的因素。在这一地球物理反演问题中的算子A，就是矩阵L与慢度向量S的线性相乘。同时，在这里算子A还是一个线性算子。

4.Normofoperator（算子的范数）

某个算子的范数定义为满足下式：

a

中的所有M中最小的那个值，即：

A

5.Normoffunctional（泛函的范数）

泛函是算子的一种特殊形式，因此泛函的范数的定义与算子的定义类似。

某个泛函的范数定义为满足下式：

f(

中的所有M中最小的那个值，即：

f

6.Innerproduct（内积）

在有限维下，内积定义为两个矢量的一种运算：

A

推广到一般的线性空间中，内积是指在复数域上的一个线性空间V备有一个正定、对称以及共轭双线性形式。内积运算满足以下性质：

对称性：

线性：

线性：

正定性：

7.Hilbertspace（希尔伯特空间）

在一个复矢量空间H上给定内积定义后，可以导出任意一个矢量的范数：

x

如果空间H对于这个范数来说是完备的，则此空间称为希尔伯特空间。

希尔伯特空间拥有最丰富的几何性质。它是欧式空间的一个推广。在地球物理学中，我们可以把地球物理数据或模型看作是希尔伯特空间中的元素。比如说，我们可以利用相应数据之间的距离来计算观测数据和模拟数据之间的精度。换句话说，我们可以利用希尔伯特空间几何性质中所有的方法和捷径来帮助我们解决地球物理反演问题。

8.L1norm;L2norm;L2Cnorm;Lpnorm;L∞norm（L1范数；L2范数；

L1范数：

L2范数：

L2C范数

LP范数：

L∞范数：

Homework2:basedonAppendixBCD

1.Inverseoperator（逆算子）

对方程

A

来说，如果其解是唯一的，那么对解空间也即数据空间中的任意一个y’，在模型空间中都存在一个模型x’与之对应，这种y’与x’的对应关系就称为算子A的逆算子A

x=

2.ExplaintheprocedureofGram-Schmidtorthogonalizationprocessandtheroleitplays.（阐述Gram-Schmidt正交化方法的流程以及它的作用）

在某些情况下，求解方程组

i=1

是很困难的。显然，如果n个数据{d1,d2

首先，令

e

下一步，构建与e1正交的向量d2

e

类似的，继续构建与e1和e2都正交的向量d

e

以此类推。

这一过程称为Gram-Schmidt正交化方法。它在反演问题的求解中扮演着非常重要的角色。

3.What’sRieszrepresentationtheorem（什么是Riesz表示定理）

Riesz表示定理：在希尔伯特空间中，所有有界的线性泛函f(x)都可以表示为形如(l,x)内积的形式，其中l是希尔伯特空间中的一个由f唯一确定的元素。

4.Adjointoperator;self-adjointoperators（伴随算子；自伴算子）

假设X和Y是希尔伯特空间，A是从X到Y的一个线性算子，即

y

定理：对任意作用在X上的线性算子A以及任意的y∈Y，存在唯一的x*∈X使得对所

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