微专题07函数压轴小题(原卷版+解析)

微专题07函数压轴小题

秒杀总结

一、对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：

1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；

2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．

3、根据恒成立求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，通常要设出导数的零点，难度较大.

二、对于双变量问题，首先变形后引入新变量把问题变为单变量，再引入新函数，利用导数求得函数值的范围，然后再解相应的不等式可得所求参数范围．

三、函数零点的求解与判断方法：

（1）直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；

（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；

（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.

四、已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，利用数形结合的方法求解.

典型例题

例1．（2023·福建省福州第一中学高二期末）若对，有，函数在区间上存在最大值和最小值，则其最大值与最小值的和为（）

A．4 B．8 C．12 D．16

例2．（2023·天津·耀华中学高二期中）设函数，记，若函数至少存在一个零点，则实数的取值范围是

A． B．

C． D．

例3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，设关于的方程有个不同的实数解，则的所有可能的值为

A． B．或 C．或 D．或或

例4．（2023·四川自贡·高二期末（理））函数，其中，若有且只有一个整数，使得，则的取值范围是（）

A． B．

C． D．

例5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数有唯一零点，则

A． B． C． D．1

例6．（2023·重庆市第七中学校模拟预测）已知函数，若方程有四个不等实根，时，不等式恒成立，则实数的最小值为

A． B． C． D．

例7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（）

A． B．

C． D．

例8．（2023·湖南·高三月考）若直角坐标平面内，两点满足：①点，都在函数的图象上；②点，关于原点对称，则称点是函数的一个“姊妹点对”点对与可看作是同一个“姊妹点对”．已知函数恰有两个“姊妹点对”，则实数的取值范围是（）

A． B． C． D．

例9．（2023·浙江省杭州第二中学高三开学考试）已知函数，有三个不同的零点，（其中），则的值为

A． B． C．-1 D．1

例10．（2023·全国·高二）若存在两个正实数、，使得等式成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是（）．

A．

B．

C．

D．

例11．（2023·吉林·长春十一高高二期中（理））对于函数，若存在区间，当时，的值域为，则称为倍值函数．若是倍值函数，则的取值范围为（）

A． B． C． D．

例12．（2023·四川自贡·高二期末（文））设函数，若存在(为自然对数的底数)，使得，则实数的取值范围是（）

A． B．

C． D．

例13．（2016·湖南·高三开学考试（理））将函数y＝ln（x＋1）（x≥0）的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角θ（θ∈（0，α]），得到曲线C，若对于每一个旋转角θ，曲线C都仍然是一个函数的图象，则α的最大值为

A．πB．C．D．

过关测试

1．（2023·甘肃省民乐县第一中学高三月考（文））设函数的最大值为5，则的最小值为（）

A． B．1 C．2 D．3

2．（2023·河南·温县第一高级中学高三月考（理））若函数在区间上的最大值、最小值分别为、，则的值为（）．

A． B． C． D．

3．（2023·广东潮阳·高一期末）函数，若最大值为，最小值为，，则的取值范围是______.

4．（2023·安徽·合肥市第九中学高三月考（理））已知定义域为R的函数有最大值和最小值，且最大值和最小值的和为6，则λ-μ=___.

5．（2023·浙江奉化·高二期末）若函数至少存在一个零点，则的取值范围为（）

A． B． C． D．

6．（2023·四川资阳·高一期末）定义在R上函数，若函数关于点对称，且则关于x的方

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