专题1

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专题1.7整式的乘除章末八大题型总结（拔尖篇）

【北师大版】

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【题型1巧用幂的运算逆向运算】 1

【题型2整式乘法中不含某项问题】 4

【题型3多项式乘法中的规律性问题】 6

【题型4巧用乘法公式求值】 9

【题型5乘法公式的几何背景】 14

【题型6整式的乘除中的新定义问题】 20

【题型7整式运算中的定值问题】 24

【题型8整式运算中的整除问题】 29

【题型1巧用幂的运算逆向运算】

【例1】（2023春·安徽蚌埠·八年级统考期末）已知2a=3，2b=6，2c=12，

（1）2c?b=

（2）a，b，c之间满足的等式关系为．

【答案】2a+c=2b

【分析】（1）逆用同底数幂除法法则计算即可；

（2）利用幂的乘方的法则及同底数幂的乘法的法则对式子进行整理即可．

【详解】解：（1）∵2b=6，

∴2c?b

故答案为：2；

（2）∵2a×2c=

∴2a+c

∴a+c=2b,

故答案为：a+c=2b．

【点睛】本题主要考查了积的乘方与幂的乘方，熟练掌握积的乘方与幂的乘方运算法则进行求解是解决本题的关键．

【变式1-1】（2023春·江苏苏州·八年级期中）已知常数a，b满足2a×22b=8

【答案】2

【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则将原式变形进而得出答案．

【详解】解：∵2a

∴2a+2b

∴a+2b=3，

∵(5a

∴52a+4b?3ab

∴2a+4b?3ab=0，

∴2a+2b

∴2×3?3ab=0，

解得：ab=2．

【点睛】本题考查同底数幂的乘除运算，正确将原式变形是解题关键．

【变式1-2】（2023春·河北石家庄·八年级统考期中）已知xn=2，

（1）(xy)2n的值为

（2）若x3n+1?y3n+1=64

【答案】368

【分析】1利用幂的乘方与积的乘方的法则进行计算，即可得出结果；

2利用幂的乘方与积的乘方的法则进行计算，即可得出结果．

【详解】解：(1)∵xn=2

∴(xy)

=x

=(x

=2

=4×9

=36，

故答案为：36；

(2)∵x

∴x

∴(x

∵xn=2

∴2

∴xy=8

故答案为：827

【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方，掌握幂的乘方与积的乘方的法则是解决问题的关键．

【变式1-3】（2023春·江苏泰州·八年级统考期中）爱动脑筋的小明在学习《幂的运算》时发现：若am=an(a0，且a≠1，m、n都是正整数），则m=n

(1)如果2×4x×

(2)如果3x+2+3

【答案】(1)x=5

(2)x=2

【分析】（1）利用幂的乘方的法则及同底数幂的乘法的法则对式子进行整理，从而可求解；

（2）利用同底数幂的乘法的法则及幂的乘方的法则对式子进行整理，即可求解．

【详解】（1）因为2×4x×32x=236，

所以2×22x×25x=236，

即21+7x=236，

所以1+7x=36，

解得：x=5；

（2）因为3x+2+3x+1=108，

所以3×3x+1+3x+1=4×27，4×3x+1=4×33，

即3x+1=33，

所以x+1=3，

解得：x=2．

【点睛】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．

【题型2整式乘法中不含某项问题】

【例2】（2023春·四川巴中·八年级四川省巴中中学校考期中）若(x2+nx+3)(x2?3x+m)的展开式中不含x

【答案】9．

【分析】根据展开式中不含x2和x3项，即x2

【详解】解：(x

=x4

=x4

根据展开式中不含x2和x

n?3=0m?3n+3=0

解得，n=3m=6

m+n=9，

故答案为：9．

【点睛】本题考查整式乘法和二元一次方程组，解题关键是根据多项式中不含某一项时，这一项的系数为0列方程组．

【变式2-1】（2023秋·甘肃武威·八年级校考期末）老师在黑板上布置了一道题：

已知x＝－2，求式子(2x－y)(2x＋y)＋(2x－y)(y－4x)＋2y(y－3x)的值．

小亮和小新展开了下面的讨论：

小亮：只知道x的值，没有告诉y的值，这道题不能做；

小新：这道题与y的值无关，可以求解；

根据上述说法，你认为谁说的正确？为什么？

【答案】小新的说法正确，原因见解析

【分析】根据平方差公式，多项式乘以多项式，单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简即可得到答案．

【详解】解：2x?y

=4x

=?4x

∴这道题与y的值无关，可以求解，

∴小新的说法正确．

【点睛】本题主要考查了平方差公式，多项式乘以多项式，多项式乘以单项式，熟知整式的相关计算法则

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