浙江省温州环大罗山联盟2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题（解析版）

2024学年第一学期温州环大罗山联盟期中联考

高二年级数学学科试题

考生须知：

1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟．

2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．

3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．

4．考试结束后，只需上交答题纸．

选择题部分

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．

1.在平面直角坐标系中，直线的倾斜角为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用直线的斜率和倾斜角的关系求解.

解：设直线的倾斜角为

又直线斜率为，

所以，又，

所以，

故选：C

2.在正方体中，是BD的中点，则直线和夹角的余弦值为（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】由空间向量求解异面直线夹角即可.

以点为原点，分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图所示），

设正方体的棱长为2，

则，，，，则，

所以，，

设直线和夹角为，

所以.

故选：A.

3.设，则“”是“直线与直线平行”的（）

A.必要不充分条件 B.充分不必要条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】由两条直线平行的充要条件判断即可；

解：因为直线与直线平行，

所以且，所以或.

又因为“”成立可得“或”成立，

而“或”成立不能得到“”成立，

所以“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件.

故选：B.

4.已知正四面体的棱长为2，E是的中点，F是的三等分点（靠近A点），用空间向量表示，则（）

A. B.

C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用空间向量的运算求解即可.

∵E是的中点，F是的三等分点（靠近A点），

∴.

故选：C.

5.已知、是椭圆长轴的两顶点，是椭圆上的一点，直线与斜率之积，则此椭圆的离心率取值范围是（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】设点，可得出，利用斜率公式以及已知条件可得出的取值范围，再由可求得该椭圆离心率的取值范围.

设点，则，且，可得，

易知、，

所以，，

所以，，可得，

故.

故选：D.

6.直线分别与轴，轴交于A，B两点，点在圆上，则面积的取值范围是（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】求出AB，再求出点到直线的最大距离和最小距离，求出最大面积和最小面积即可.

解：因为直线分别与轴，轴交于A，B两点，

所以,，所以，

又因为圆的圆心为，半径为，

所以圆心到直线的距离为d=2+0+1

所以点到直线的最大距离为，最小距离为，

所以的最大面积是；的最小面积为.

故选：A.

7.《九章算术》是我国古代数学名著．书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，在阳马中，平面，底面是矩形，E、F分别为PD，PB的中点，为直线CP上的动点，，，若平面，则（）

A B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意可以建立空间直角坐标系，根据线面垂直，则直线的方向向量和平面的法向量互相平行即可求得比例关系.

因为平面，底面是矩形，在处建立空间直角坐标系如图所示：

设，则，所以

，

设平面的法向量为，则，即

，令，得，所以法向量为，

设，因为，

因为平面，则，所以，解得，

则.

故选：B

8.古希腊数学家阿波罗尼奥斯用不同的平面截同一圆锥，得到了圆锥曲线，其中的一种如图所示．用过M点且垂直于圆锥底面的平面截两个全等的对顶圆锥得到双曲线的一部分，已知高，底面圆的半径为8，M为母线PB的中点，平面与底面的交线，则双曲线的两条渐近线的夹角的余弦值为（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】交于，以过点且垂直于圆锥底面的平面的中心为原点，平行于圆锥的轴为轴建立平面直角坐标系，求出点的坐标，求得双曲线的方程，进而求得双曲线的渐近线夹角的余弦值.

设交于，以过点且垂直于圆锥底面的平面的中心为原点，平行于圆锥的轴为轴建立平面直角坐标系，

因为圆锥的高，是的中点，且截面垂直于底面，

所以，所以，又底面圆半径,所以

，所以，

设双曲线方程为，代入，，代入解得，

则双曲线的两条渐近线方程为，由对称性可知两条渐近线所夹锐角的正切值为，

双曲线的两条渐近线的夹角的余弦值为.

故选：A

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9.已知圆和圆，以下结论正确的是（）

A.若和只有一个公共点，则

B.若，则和关于直线对称

C.若和外离，则

D.若，则和内含

【答案】BD

【解析】

【分析】求两圆圆心距与半径和、

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