高中数学方法原本-第3卷第12章

第十二章：概率与统计方法论

统计和概率是数学中的两个重要分支,二者密不可分,前者侧重于研究如何收集、处理、分析和

解释数据,而后者则侧重于研究随机现象的规律性.概率是在总体被假定已知的情况下,研究从

总体中抽取样本的有关问题一一这是关于随机现象的演绎性研究,概率的结论具有确定性;而统

计学主要是在样本可获得的情况下,研究如何从样本中得出关于总体的一些结论一一这是关于

随机现象规律的归纳性研究,统计的结果具有或然性,且统计得出的结果需要用概率的知识科学

地刻画.

从逻辑关系看,概率是统计的理论基础,而统计是概率的应用.本章我们将从务实的角度来探究

基于排列组合的概率与统计问题.

第01讲：图论排列组合策略

本讲我们将基于图形务实地探究排列组合的一系列具体的策略,首先我们用几道例题来强化一

下对排列组合基本公式及二项式定理的运用.

例1.证明下列恒等式:

(1)A=A⋅A.

345211

(2)+++⋯+=−.

1!+2!+3!2!+3!+4!3!+4!+5!+(1)!+(2)!2(2)!

解析:

AAA

第一问:因为⋅=⋅(−!==,证毕.

(!

第二问:因为

+21+21+2

=⋅=⋅

+(+1)!+(+2)!1+(+1)+(+1)(+2)2

+4+4

+1

=

(+2)!

11

=−

(+1)!(+2)!

故而有

34+21111

++⋯+=−=−

1!+2!+3!2!+3!+4!+(+1)!+(+2)!2!(+2)!2(+2)!

证毕.

结论1.1:组合公式基本性质利用组合的定义易知（以下各量皆默认有意义）

(i)C=C;

1

(ii)C=C+C;

1

11

(iii)C=C;

11

(iv)CC=CC;

12111

(v)=⋅+1.

C222C21C21

结论证明:

AA

CC

(i)因为

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