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第八讲-指数运算与指数函数
知识点一、整数指数幂
1、正整数指数幂的定义：，其中，
2、正整数指数幂的运算法则：
①（）
②（，，）
③（）
④（）
⑤（）
知识点二、根式
1、次根式定义：
一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且.
特别的：
①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示.
②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，叫做的次算术根；负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成().
③负数没有偶次方根；
④的任何次方根都是，记作
2、根式：
式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数．
在根式符号中，注意：
①，
②当为奇数时，对任意都有意义
③当为偶数时，只有当时才有意义.
3、与的区别：
①当为奇数时，（）
②当为偶数时，（）
③当为奇数时，且，
④为偶数时，且，
知识点三、分式指数幂
1、正数的正分数指数幂的意义是（，，）于是，在条件，，下，根式都可以写成分数指数幂的形式.
2、正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定，（，，）.
3、的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义.
知识点四、有理数指数幂
①（，）
②（，）
③（，）
知识点五、无理数指数幂
①（，）
②（，）
③（，）
考点一、指数运算
【典型例题】
1、计算化简
（1）
（2）化简：
【解析】
（1）原式＝
（2）
2、已知，求下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
（1）;
（2）；
（3），故
或，
或.
【变式练习】
1、计算化简：
（1）
（2）
【解析】
(1)
(2)原式=
2、计算下列各式：
（1）.
（2）.
【解析】
(1)原式.
(2)原式.
3、化简.
【解析】
.
4、已知，求下列各式的值：
(1)；(2).
【解析】
(1)将两边平方，得，故.
(2)
知识点二、指数函数的概念
1、定义：一般地，函数（且）叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是．
2、注意指数函数的解析式：
①底数是大于0且不等于1的常数．
②指数函数的自变量必须位于指数的位置上．
③的系数必须为1.
④指数函数等号右边不能是多项式，如不是指数函数．
知识点三、指数函数的图像与性质
1、指数函数的图象与性质：
图象
性质
定义域
值域
恒过定点
图象恒过定点，即当时，
单调性
在上是减函数
在上是增函数
奇偶性
非奇非偶
函数值的变化规律
当时，
当时，
当时，
当时，
当时，
当时，
常用的两个运算
；
2、指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数的关系
观察图象，我们有如下结论：
（1）底数与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”.
=1\*GB3①当时，指数函数的图象是“上升”的，且当时，底数的值越大，函数的图象越“陡”，说明其函数值增长的越快.
=2\*GB3②当时，指数函数的图象是“下降”的，且当时，底数的值越小，函数的图象越“陡”，说明其函数值减小的越快.
（2）底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是还是，底数越大，在第一象限内的函数图象越“靠上”.
在同一平面直角坐标系中，底数的大小决定了图象相对位置的高低；
在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”；
在轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”．
指数函数与的图象关于轴对称．
．
知识点四、指数函数的图象变换
已知函数
1、平移变换
①
②
③
④
2、对称变换
①
②
③
3、翻折变换
①（去掉轴左侧图象，保留轴右侧图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧）
②（保留轴上方的图象，将轴下方的图象翻折到轴上方）
知识点五、指数型函数（简单复合函数）
一般地，有形如函数的性质：
（1）函数与函数有相同的定义域．
（2）当时，函数)与具有相同的单调性；当时，函数与函数的单调性相反．
函数
单调性
↗
↗
↗
单调性
↗
↘
↘
单调性
↘
↘
↗
单调性
↘
↗
↘
考点二、指数函数的概念判断与应用
【典型例题】
1、在①；②；③；④；⑤中，是关于的指数函数的个数是（????）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】
根据指数函数的定义，知①⑤中的函数是指数函数，
②中底数不是常数，指数不是自变量，所以不是指数函数；
③中的系数是，所以不是指数函数；
④中底数，所以不是指数函数．
故选：B．
2、下列函数中是指数函数的是________.
①；②；③；④；⑤；⑥.
【解析】
因为形如的函数为指数函数，
所以函数符合指数函数的定义，是指数函数；
符合指数函数的定义，是指数函数；
其它函数不符合指数函数的定义，不是指数函数，
故答
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