第33讲统计(原卷版+解析)

第33讲统计

方法总结：

一、线性回归

线性回归是研究不具备确定的函数关系的两个变量之间的关系(相关关系)的方法。

对于一组具有线性相关关系的数据(x1,y1)，(x2,y2)，…，(xn,yn)，其回归方程的求法为

其中，，，(,)称为样本点的中心。

步骤：画散点图，如散点图中的点基本分布在一条直线附近，则这条直线叫这两个变量的回归直线，直线斜率k0，称两个变量正相关；k0，称两个变量负相关。

二、独立性

独立性检验是判断两个分类变量是否存在相关关系的案例分析方法。

步骤为列出2?2列联表(如表13-8所示)，求出，并判断：

A1

A2

合计

B1

a

c

a+c

B2

b

d

b+d

合计

a+b

c+d

n=a+b+c+d

若K210.828，有99.9%把握称“A取A1或A2”对“B取B1，B2”有关系；

若10.828?K26.635，有99%把握称“A取A1或A2”对“B取B1，B2”有关系；

若6.635?K23.841，有95%把握称“A取A1或A2”对“B取B1，B2”有关系；

若K2?3.841，没有把握称A与B相关。

典型例题：

例1．（2023·全国·模拟预测）某高中高一新生共有1500名，其中男生800名，女生700名，为全面推进学校素质教育，推动学校体育运动发展，引导学生积极参与体育锻炼，促进学生健康成长.学校准备调查高一新生每周日常运动情况，学校通过问卷调查，采用分层抽样的方法，收集了300名学生每周平均运动时间的样本数据（单位：小时），并根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为，，，，，.

(1)求这300个样本数据中女生人数，并估计样本数据的85%分位数与方差；

(2)在调查的300名学生中按每周运动时间采用分层抽样法抽取20人参加校园“我运动我快乐”活动，再从这20人中选取2名志愿者担任主要负责人，记这2名志愿者中“每周运动时间超过8小时”的人数为，求的分布列及数学期望.

例2．（2023·河北唐山·高三期末）某统计部门依据《中国统计年鉴——2017》提供的数据，对我国1997-2016年的国内生产总值（GDP）进行统计研究，作出了两张散点图：图1表示1997-2016年我国的国内生产总值（GDP），图2表示2007-2016年我国的国内生产总值（GDP）．

(1)用表示第i张图中的年份与GDP的线性相关系数，，依据散点图的特征分别写出的结果；

(2)分别用线性回归模型和指数回归模型对两张散点图进行回归拟合，分别计算出统计数据——相关指数的数值，部分结果如下表所示：

年份

1997-2016

2007-2016

线性回归模型

0.9306

指数回归模型

0.9899

0.978

①将上表中的数据补充完整（结果保留3位小数，直接写在答题卡上）；

②若估计2017年的GDP，结合数据说明采用哪张图中的哪种回归模型会更精准一些？若按此回归模型来估计，2020年的GDP能否突破100万亿元？事实上，2020年的GDP刚好突破了100万亿元，估计与事实是否吻合？结合散点图解释说明.

例3．（2023·重庆八中高三阶段练习）5G的到来给人们的生活带来颠覆性的变革，某科技创新公司基于领先技术的支持，5G经济收入在短期内逐月攀升，该创新公司在第1月份至6月份的5G经济收入y（单位：百万元）关于月份x的数据如表：

时间（月份）

1

2

3

4

5

6

收入（百万元）

6.6

8.6

16.1

21.6

33.0

41.0

根据以上数据绘制散点图，如图.

(1)根据散点图判断，与（a，b，c，d均为常数）哪一个适宜作为5G经济收入y关于月份x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

(2)根据（1）的结果及表中数据，求出y关于x的回归方程，并预测该公司8月份的5G经济收入；

(3)从前6个月的收入中抽取3个，记月收入超过16百万的个数为X，求X的分布列和数学期望.

参考数据：

3.50

21.15

2.85

17.50

125.35

6.73

其中设，

参考公式和数据：对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，，，.

例4．（2023·河北·模拟预测）主播代言?优惠促销?限时“秒杀”……目前，各类直播带货激起人们的消费热情，但也存在不少问题.日前，中国消费者协会发布了网络直播销售侵害消费者权益案例分析，归纳出虚假宣传?退换货难?诱导交易等七大类问题.某相关部门为不断净化直播带货环境，保护消费者合法权益，进行了调查问卷，随机抽取了200人的样本进行分析，得到列联表如下：

参加过直播带货

未参加过直播带货

总计

女性

90

30

120

男性

50

30

80

总计

140

60

200

(1)根据以

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