2025初中数学竞赛（培优）专题4 有理数的运算 讲义（学生版+解析版）

全国初中数学竞赛培优教程

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专题04有理数的运算（学生版）

真题重现

（2024七年级·全国·竞赛）古埃及人处理分数与众不同，他们一般只使用分子为1的分数，例如：用12+14来表示34，用13+14+15来表示4760．现有99

(1)从这99个分数中挑出4个分数，使它们的和等于34

(2)能否从这99个分数中挑出9个分数，加上正、负号，使它们的和等于0？若能，求出满足条件的9个分数；若不能，说明理由．

考点突破

一、有理数的加减

【学霸笔记】

一、有理数加法

同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

若则；

若则。

2. 异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

绝对值相等：若且，则；

绝对值不相等：

若且，则；

若且，则。

3. 一个数与0相加，仍得这个数。

三、有理数减法法则

减去一个数，等于加上这个数的相反数，

较大的数－较小的数＝正数，即若，则；

较小的数－较大的数＝负数，即若，则；

相等的两个数相减等于0，即若，则；

0减去任何数都等于这个数的相反数，任何数减去0仍等于这个数.

【典例】（2024八年级·全国·竞赛）设A=999072+888082

A．8 B．11 C．13 D．14

【答案】C

【分析】本题考查了数的平方，计算出每个平方数的后两位，再相加即可得到答案．

【详解】解：999072的后两位为49

888082的后两位为64

777092的后两位为81

∵49+64+81=194，

∴个位上的数字为4，十位上的数字为9，4+9=13，

故选：C．

【巩固】（2024七年级·全国·竞赛）甲、乙两个瓶子里都装有水，第一次把乙瓶子里的水倒入甲瓶子里，使甲瓶子里的水增加一倍；第二次把甲瓶子里的水倒入乙瓶子里，使乙瓶子里现有的水增加一倍；第三次又把乙瓶子里的水倒入甲瓶子里，使甲瓶子里现有的水增加一倍；第四次再把甲瓶子里的水倒入乙瓶子里，使乙瓶子里现有的水增加一倍；第五次又把乙瓶子里的水倒入甲瓶子里，使甲瓶子里现有的水增加一倍．这样一来，两个瓶子里就各有480毫升的水，那么两个瓶子里原有的水相差毫升（假定两个瓶子都足够大）．

二、有理数的乘除

【学霸笔记】

一、有理数乘法法则

两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；

0与任何数相乘都得0；

任何数与1相乘都等于它本身，任何数与－1相乘都等于它的相反数；

拓展：

几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正；

几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0.

一般地，在乘法运算中，若有带分数和小数，应先把带分数化为假分数，小数化为分数之后再计算，方便约分.

二、有理数除法法则

除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数；

两个不为0的数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；

0除以任何一个不为0的数都等于0，0不能作为除数，无意义.

一个非零的数除以它的本身等于1.

两数相除要先确定商的符号，再确定绝对值，其中商的符号的确定方法与有理数乘法中积的符号确定方法相同.

【典例】（2024七年级·全国·竞赛）在2018的左边添加一个数字a，右边添加一个数字b，组成一个六位数a2018b，且a2018b能被45整除，则ab的最大值是（????）

A．10 B．35 C．56 D．81

【答案】A

【分析】本题考查有理数的除法运算，根据整除的概念，得出b=0或b=5，根据b的不同取值，讨论ab的值，即可解题．

【详解】解：∵a2018b能被45整除，

∴b=0或b=5，

当b=0时，ab=0；

当b=5时，a+2+0+1+8+5=a+16能被9整除，则a=2，故ab的最大值为5×2=10．

故选：A．

【巩固】（2024七年级·全国·竞赛）若正整数m、n、p、q满足mn=np=

三、有理数的乘方

【学霸笔记】

一、有理数乘方的意义

求相同因数的积的运算叫做乘方，相同因数叫做底数，相同因数的个数叫做指数，乘方的运算结果叫做幂.

一般地，记作，读作“a的n次方”，其中a叫做底数，n叫做指数，当看作a的n次方的计算结果时，也可以读作“a的n次幂”.

乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果；

一个数可以看作是它本身的一次方，指数1可省略不写；

底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来；

当负数或分数作为底数时，底数必须用括号括起来；

一个数的二次方又称为这个数的平方，一个数的三次方又称为这个数的立方.

二、有理数乘方的运算

有理数乘方运算的符号法则

正数的任何次幂都是正数；

负数的

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