2025初中数学竞赛（培优）专题3 有理数的相关的概念 讲义（学生版+解析版）

全国初中数学竞赛培优教程

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专题03有理数的相关概念（学生版）

真题重现

（2024七年级·全国·竞赛）已知在数轴上与实数a、b、c对应的点如图所示，则

考点突破

一、正数与负数

【学霸笔记】

正数：像3.5，2020，6.7，等这样的数都是正数，它们都是大于0的；

负数：像－154，－3.4，－3.5％等这样的数都是负数，它们都是小于0的；

0既不是正数，也不是负数.

1. 一个数前面的“＋”号或“－”号叫做它的符号，其中“＋”号可以省略不写，“－”号不能省略；

2. 0的意义不但可以表示“没有”，还可以表示一些特定的意义，如0℃是一个确定的温度，不能说0℃没有温度；

3. 判断一个数是正数还是负数，不能仅由数字前面的符号判断，不能理解为带“＋”号就是正数，带“－”号就是负数，如后面要讲的就是一个正数.

【典例】（七年级上·江西·竞赛）下列各有理数中，属于正数的有（????）

①0.01；②-19；③15的绝对值；④0；⑤-13

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】C

【分析】先把需要化简的数进行化简，再根据正数定义进行判断，即可得到结果．

【详解】解：∵15=15，-2.333的相反数是2.333

∴正数有：①③⑥，

故选：C．

【点睛】本题考查正数、绝对值、相反数，正确理解相关定义是解题的关键．

【巩固】（2024七年级·全国·竞赛）某人从A地去B地，以每分钟2米的速度行进，他先前进1米，再后退2米，又前进3米，再后退4米……

(1)1小时后他离A地多远？

(2)若A、B两地相距50米，他可能到达B地吗？如果能，需要多长时间？如不能，请说明理由．

二、有理数的分类

【学霸笔记】

根据有理数的特征，一般会有以下两种分法.

1.按定义分

2.按正负分

【典例】（2024七年级·全国·竞赛）若4m+1,3m-1为整数，则整数

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【答案】C

【分析】本题主要考查了整数的定义，理解整数的定义是解题的关键．

分别用列举法确定4m+1,3

【详解】解：∵4m+1

∴m可取0,-2,1,-3,3,-5；

∵3m-1

∴m可取2,0,4,-2，

∴当4m+1,3m-1为整数时，

故选C．

【巩固】把下列各数填入相应的大括号里．-13，﹣3.14，260，﹣2009，67，﹣0.010010001…，﹣7，3.1415

0，1317，0.03，﹣312，10，﹣0.2

正分数集合{…}；

正数集合{…}；

整数集合{…}；

非正数集合{…}；

有理数集合{…}；

自然数集合{…}．

三、数轴与绝对值

【学霸笔记】

1. 数轴定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.

（1）数轴是一条可以向两端无限延伸的直线；

（2）数轴有三要素：原点、正方向、单位长度，缺一不可；

（3）数轴三要素是“规定”的，通常，我们习惯性向右为正方向，原点的位置和单位长度的大小要依据实际情况灵活选取，但是，一旦选定后就不能随意改变；

（4）在同一条数轴上，单位长度的大小必须统一，要根据实际问题灵活选取单位长度的大小.

2. 数轴的画法

（1）画一条直线（通常画成水平位置）；

（2）在这条直线上取一点作为原点，这点表示0；

（3）确定正方向：规定直线上向右为正方向，画上箭头；

（4）选取适当的长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次标上1，2，3，…从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次标上-1，-2，-3，…

3. 利用数轴比较有理数的大小

（1）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；

（2）正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数.

4. 绝对值的几何意义

在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值.数a的绝对值记作，读作“a的绝对值”.

1.因为距离不可能为负，所以一个数的绝对值都是非负数；

2.数轴上表示一个数的点离原点越远，这个数的绝对值就越大，反之，数轴上表示一个数的点离原点越近，这个数的绝对值就越小；

3.数轴上表示0的点到原点的距离为0，所以.

绝对值图示：

【典例】如图，数轴上每相邻两点相距一个单位长度，点A、B、C、D是这些点中的四个，且对应的位置如图所示，它们对应的数分别是a、b、c、d．

（1）若c与d互为相反数，则a＝；

（2）若d﹣2b＝

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