2025初中数学竞赛（培优）专题1 整数 讲义（学生版+解析版）

全国初中数学竞赛培优教程

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专题01整数（学生版）

真题重现

（2024七年级·全国·竞赛）上海世博会将于2010年5月1日至10月31日举行，截至2009年9月23日，已有242个国家和国际组织确认参加上海世博会．其中非洲a个国家，美洲b个国家，欧洲c个国家，亚洲d个国家，大洋洲e个国家，国际组织f个．

已知：（1）10ebdcfa；

（2）a-c、

（3）d与242的最大公约数是22．

求a、

考点突破

一、奇数与偶数

【学霸笔记】

一个大于1的正整数，若除了1与它自身，再没有其他的约数，这样的正整数叫作质数；一个大于1的正整数，除了1与它自身，若还有其他的约数，这样的正整数称为合数.这样，我们可以按约数个数将正整数分为三类:

质数、合数有下面常用的性质:

1. 1不是质数，也不是合数；2是唯一的偶质数.

2. 若质数则必或.

3. 若正整数a，b的积是质数p，则必有a＝p或b＝p.

【典例】一个两位数的个位数字和十位数字交换位置后，所得的数比原来的数大9，这样的两位数中，质数有（）

A．1个 B．3个 C．5个 D．6个

【分析】设个位数为x，十位数为y，则这个两位数为10y+x，个位十位交换后两位数表示为10x+y，根据所得的数比原来的数大9列出方程，再根据未知数的取值确定符合质数的个数即可．

【解答】解：设原两位数的个位数为x，十位数为y（x，y为自然数），原两伴数为10y+x，新两位数为10x+y，根据题意得：

10x+y﹣（10y+x）＝9，

化简得：x﹣y＝1，

因为x，y为1﹣9内的自然数，两位数为质数且个位与十位上的数大1时，符合条件的数有23、67、89，

所以这样的两位数中，质数有3个．

故选：B．

【点评】本题考查了二元一次方程的应用，涉及到质数的性质．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．注意不要漏解．

【巩固】已知三个不同的质数a，b，c满足abbc+a＝2000，那么a+b+c＝．

二、奇数与偶数

【学霸笔记】

整数按能否被2整除分为两大类:奇数和偶数，奇数与偶数有下列基本性质:

1. 奇数≠偶数.

2. 两个整数相加(减)或相乘，结果的奇偶性如下所示：

3. 若干个奇数之积是奇数，偶数与任意整数之积是偶数；偶数个奇数的和为偶数，若干个偶数的和为偶数.

4.设m、n是整数，则，的奇偶性相同.

5.设m是整数，则m与的奇偶性相同.

【典例】已知a、b、c中有两个奇数、一个偶数，n是整数，如果S＝（a+2n+1）+（b+2n+2）+（c+2n+3），那么（）

A．S是偶数

B．S是奇数

C．S的奇偶性与n的奇偶性相同

D．S的奇偶性不能确定

【分析】弄清a+2n+1，b+2n+2，c+2n+3的奇偶性即可．可将3数相加，可知和为偶数，再根据三数和为偶数必有一数为偶数的性质可得积也为偶数．

【解答】解：（a+2n+1）+（b+2n+2）+（c+2n+3）＝a+b+c+6（n+1）．

∵a+b+c为偶数，6（n+1）为偶数，

∴a+b+c+6（n+1）为偶数

∴a+2n+1，b+2n+2，c+2n+3中至少有一个为偶数，

∴S是偶数．故选：A．

【点评】三个数的和为偶数，则至少有一个为偶数；三个数中有一个为偶数，则三数之和为偶数．三个数中有一个为偶数，则三数之积也为偶数

【巩固】已知三个质数a、b、c满足a+b+c+abc＝99，那么|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣a|的值等于．

三、数的十进制

【典例】用十进制计数法表示正整数，如365＝300+60+5＝3×102+6×101+5，用二进制计数法来表示正整数，如：5＝4+1＝1×22+0×21+1×20，记作：5＝（101）2，14＝8+4+2＝1×23+1×22+1×21+0×20，记作：14＝（1110）2，则（101011）2表示数（）

A．24 B．42 C．43 D．61

【分析】根据二进制记数法可以得到（101011）2＝1×25+0×24+1×23+0×22+1×21+1×20，然后计算即可求得．

【解答】解：（101011）2＝1×25+0×24+1×23+0×22+1×21+1×20＝32+8+2+1＝43，

故选：C．

【点评】本题考查了数的十进制，有理数的混合运算，正确理解题目中介绍的二进制是关键，主要考查了学生的自学能力．

【巩固】（1）【归纳与发现】

①填空：12＝3×4，1+2＝3×1；69＝3×，6+9＝3×；

②填空：312＝3×104，3+1+2＝3×2；504＝3×，5+0+4＝3×．

（2）【验证与说理】

①试说明2325及其各个数位上的数字之和都可以被3整除（是3的整数倍）；

②设abcd

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