专题15 直线与圆（4知识点 3重难点 12方法技巧 4易错易混）（解析版）-2025年高考数学一轮复习知识清单

专题15直线与圆

（思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错）

知识点1直线的方程

1、直线的倾斜角

（1）定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0．

（2）范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)．

2、直线的斜率

（1）定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tanα，倾斜角是eq\f(π,2)的直线没有斜率．

（2）过两点的直线的斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)．

3、直线方程的五种形式

形式

几何条件

方程

适用范围

点斜式

过一点(x0，y0)，斜率k

y－y0＝k(x－x0)

与x轴不垂直的直线

斜截式

纵截距b，斜率k

y＝kx＋b

与x轴不垂直的直线

两点式

过两点(x1，y1)，(x2，y2)

eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)

与x轴、y轴均不垂直的直线

截距式

横截距a，纵截距b

eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1

不含垂直于坐标轴和过原点的直线

一般式

Ax＋By＋C＝0

（A2＋B2≠0）

平面直角坐标系内所有直线

【注意】“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正、可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．

知识点2两条直线的位置关系

1、两条直线平行与垂直的判定

（1）两条直线平行

①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2?k1＝k2．

②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2．

（2）两条直线垂直

①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2?k1·k2＝－1．

②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2．

2、两条直线的交点的求法

直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，

则l1与l2的交点坐标就是方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解．

3、三种距离公式

（1）平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝eq\r(?x2－x1?2＋?y2－y1?2)．

特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝eq\r(x2＋y2)．

（2）点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))．

（3）两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))．

4、直线系方程的常见类型

（1）过定点P(x0，y0)的直线系方程是：y－y0＝k(x－x0)(k是参数，直线系中未包括直线x＝x0)，也就是平常所提到的直线的点斜式方程；

（2）平行于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：Ax＋By＋λ＝0(λ是参数且λ≠C)；

（3）垂直于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：Bx－Ay＋λ＝0(λ是参数)；

（4）过两条已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程是：

A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R，但不包括l2)．

知识点3圆的方程

1、圆的定义及方程

定义

平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆

标准方程

(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)

圆心：(a，b)半径：r

一般方程

x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F0)

圆心：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))

半径：r＝eq\f(\r(D2＋E2－4F),2)

2、点与圆的位置关系

点M(x0，y0)，圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2．

理论依据

点到圆心的距离与半径的大小关系

三种情况

(x0－a)2＋(y0－b)2eq\a\vs4\al(＝)r2?点在圆上

(x0－a)2＋(y0－b)2eq\a\vs4\al()r2?点在圆外

(x0－a)2＋(y0－b)2eq\a\vs4\al()r2?点在圆内

3、二元二次方程与圆的关系

不要把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的结构都认为是圆，一定要先判断D2＋E2－4F的符号，只有大于0时才表示圆．

若x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，则有：

（1）当F＝0时，圆过原点．

（2）当D＝0，E≠0时

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