高考数学一轮复习第一章 《集合与常用逻辑用语、不等式》第5节二次函数与一元二次方程、不等式

第五节二次函数与一元二次方程、不等式

课标要求

1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式，了解一元二次不等式的现实意义.

2.结合二次函数的图象，会判断一元二次方程根的个数，以及二次函数的零点与一元二次方程根的关系.

3.掌握利用二次函数的图象解一元二次不等式.

必备知识·整合

〔知识梳理〕

1.一元二次不等式

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，一元二次不等式的一般形式是ax2+bx+c0或ax2+bx+c0（a，

提醒

解不等式ax2+bx+c＞0(＜0)

2.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系

判别式Δ=b

Δ0

Δ=0

Δ0

二次函数y=ax2

一元二次方程ax2

有两个相异实根x1，x

有两个相等实根x1

没有实根

ax2

{x|xx1

{xx≠?b2a

R

ax2

{x|x1

?

?

提醒

a＞0时的一元二次不等式的解法口诀：大于取两边，小于取中间.

知识拓展

1.简单分式不等式

（1）f(x)g(x)

（2）f(x)g(x)

2.不等式ax

（1）不等式ax2+bx+c＞0对任意实数x

或a＞

（2）不等式ax2+bx+c＜0对任意实数x恒成立?

〔课前自测〕

1.概念辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）.

（1）ax2+bx+c0

（2）若方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2

（3）如果二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下，那么不等式a

（4）x?ax?b≥0等价于(x?a)(x?b)≥0.(

2.[2020全国Ⅰ，1，5分]已知集合A={x|x2?3x?40}，B={?4,1,3,5}，则A∩B=

A.{?4,1} B.{1,5} C.{3,5} D.{1,3}

[解析]由x2?3x?40解得?1x4，所以A={x|?1x4}，因为B={?4,1,3,5}，所以A∩B={1,3}

3.[2021辽宁大连质检]若不等式ax2+bx+20的解集为{x?12

A.?10 B.?14 C.10 D.14

4.易错题不等式(x?2)(3?2x)≥0的解集为(B)

A.(32,+∞) B.[32,2] C.

[解析]由(x?2)(3?2x)≥0，得(x?2)(2x?3)≤0，解得32≤x≤2，故原不等式的解集为[

易错提醒本题容易忽视二次项的符号致错.

5.（新教材改编题）若关于x的不等式x2?2ax+180恒成立，则实数a的取值范围为

[解析]由题意得4a2?4×180，解得

关键能力·突破

考点一一元二次不等式的解法

角度1简单分式不等式的解法

例1

（1）不等式1?x2+x≥0的解集为(

A.[?2,1] B.(?∞,?2)∪(1,+∞)

C.(?2,1] D.(?∞,?2]∪(1,+∞)

（2）[2022山东烟台二中模拟]不等式3x?2x+3≥2的解集为(

A.(?∞,?3]∪[8,+∞) B.(?∞,?3)∪[8,+∞)

C.(?3,8] D.(?∞,?3)∪(8,+∞)

[解析]原不等式可化为3x?2x+3?2≥0

即x?8x+3≥0，即(x?8)(x+3)≥0且x+3≠0

∴x?3或x≥8.所以原不等式的解集为(?∞,?3)∪[8,+∞).

方法感悟

将分式不等式进行同解变形，利用不等式的同解原理将其转化为整式不等式（组）即可求解.

角度2不含参数的不等式的解法

例2

（1）[2022重庆八中模拟]已知集合A={3,8},B={x|x2?x?6≤0}，则A∩(

A.{3} B.{8} C.{?2,3,8} D.{?2}

[解析]由x2?x?6≤0，得?2≤x≤3

则B={x|x2?x?6≤0}=[?2,3],?R

（2）[2022广东潮州月考]不等式0x2

?1或

[解析]原不等式等价于x2

即x2

即(x?2)(x+1)0，

解得x2或x?1，?2≤x≤3.

方法感悟

解一元二次不等式的步骤

角度3含参数的不等式的解法

例3解关于x的不等式ax

[答案]原不等式可化为ax2

①当a=0时，原不等式可化为x+1≤0，解得x≤?1.

②当a0时，原不等式可化为(x?2a)(x+1)≥0，解得x≥2a

③当a0时，原不等式化为(x?2a

当2a?1，即a?2时，解得?1≤x≤

当2a=?1，即a=?2时，解得x=?1

当2a?1，即?2a0时，解得2

综上所述，当a=0时，不等式的解集为{x|x≤?1}；当a0时，不等式的解集为{x|x

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