新高考数学二轮复习巩固练习14 导数解答题之函数型数列不等式问题（解析版）

微专题14导数解答题之函数型数列不等式问题

【秒杀总结】

1、分析通项法：由于左边是一个求和(积)形式的表达式，右边是一个简单的式子，为了使得两者能够明显地显现出大小特征，有必要将两者统一成同一种形式，此处有两条路可走，一种是将左边的和式收拢，一种是将右边的式子分解.很明显，左边是无法收找的，因此需要将右边进行拆分，而拆分的原则就是和左边配对.假设右边SKIPIF10，这样一来，相当于已知一个数列的前SKIPIF10项之和，求SKIPIF10，利用数列的知识可知SKIPIF10SKIPIF10.所以，接下来只需要证明SKIPIF10即可.

2、几种常见的数列放缩方法：

（1）SKIPIF10；

（2）SKIPIF10；

（3）SKIPIF10；

（4）SKIPIF10；

（5）SKIPIF10；

（6）SKIPIF10；

（7）SKIPIF10；

（8）SKIPIF10；

（9）SKIPIF10

SKIPIF10；

（10）SKIPIF10

SKIPIF10

SKIPIF10；

（11）SKIPIF10

SKIPIF10；

（12）SKIPIF10；

（13）SKIPIF10.

3、根据不等式的信息，利用题目的结论，得出不等式，然后对变量取合适的数据，再用数列求和法而得解.

【典型例题】

例1．（2023·山东济南·高三统考期中）已知函数SKIPIF10.

(1)若SKIPIF10恒成立，求SKIPIF10的取值范围；

(2)证明：对任意SKIPIF10；

(3)讨论函数SKIPIF10零点的个数.

【解析】（1）求导可得：SKIPIF10，

若SKIPIF10，对任意的SKIPIF10，SKIPIF10，SKIPIF10为减函数，

所以SKIPIF10，

若SKIPIF10，考查函数SKIPIF10，

当SKIPIF10，即SKIPIF10时，SKIPIF10，

此时SKIPIF10在SKIPIF10上为减函数，

有SKIPIF10，

当SKIPIF10，即SKIPIF10时，令SKIPIF10可得：

SKIPIF10，SKIPIF10，

所以当SKIPIF10时，SKIPIF10，SKIPIF10为增函数，

所以SKIPIF10，不符题意，

综上可得：SKIPIF10的取值范围为SKIPIF10；

（2）由（1）知当SKIPIF10时，SKIPIF10成立，

即SKIPIF10时，恒有SKIPIF10，

即当SKIPIF10时SKIPIF10成立，

取SKIPIF10（SKIPIF10），

有SKIPIF10，

即SKIPIF10，SKIPIF10，

将上述几个不等式相加可得：

SKIPIF10，

整理可得SKIPIF10，

即S

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