高等数学测试题及解答

《高等数学》章节测试

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第一章函数与极限

一、填空题

1、已知，则。

2、。

3、时，是的阶无穷小。

4、成立的为。

5、。

6、在处连续，则。

7、。

8、设的定义域是，则的定义域是__________。

9、函数的反函数为_________。

10、设是非零常数，则。

11、已知当时，与是等价无穷小，则常数。

12、函数的定义域是__________。

13、。

14、设，则________。

15、=____________。

二、选择题

1、设是上的偶函数，是上的奇函数，则中所给的函数必为奇函数。

（Ａ）；（Ｂ）；（C）；（D）。

2、，，则当时有。

（Ａ）是比高阶的无穷小；（Ｂ）是比低阶的无穷小；

（C）与是同阶无穷小；（D）。

3、函数在处连续，则。

（Ａ）；（Ｂ）；（C）；（D）。

4、数列极限。

（Ａ）；（Ｂ）；（C）；（D）不存在但非。

5、，则是的。

（Ａ）连续点；（Ｂ）可去间断点；（C）跳跃间断点；（D）振荡间断点。

6、以下各项中和相同的是（）

（Ａ），；（Ｂ），；

（C），；（D），。

7、=（）

（Ａ）1；（Ｂ）-1；（C）0；（D）不存在。

8、（）

（Ａ）1；（Ｂ）-1；（Ｃ）；（Ｄ）。

9、在的某一去心邻域内有界是存在的（）

（Ａ）充分必要条件；（Ｂ）充分条件；（C）必要条件；（D）既不充分也不必要条件.

10、（）

（Ａ）1；（Ｂ）2；（C）；（D）0。

11、设均为非负数列，且，则必有（）

（A）对任意成立；（B）对任意成立；

（C）极限不存在；（D）极限不存在。

12、当时，函数的极限（）

（Ａ）等于２；（Ｂ）等于０；（Ｃ）为；（Ｄ）不存在但不为。

三、计算解答

1、计算下列极限

（1）；（2）；

（3）；（4）；

（5）；（6）；

（7）；（8）。

３、试确定之值，使。

４、利用极限存在准则求极限

(1)。

（2）设，且，证明存在，并求此极限值。

5、讨论函数的连续性，若有间断点，指出其类型。

6、设在上连续，且，证明在内至少有一点，使。

第一单元函数与极限测试题详细解答

一、填空题

1、。，

。

2、。。

3、高阶。，

是的高阶无穷小。

4、。

为有界函数，所以要使，只要，即。

5、。。

6、。，，

。

7、。

8、根据题意要求，所以。

9、，，

，的反函数为。

10、原式=。

11、由与，以及

，

可得。

12、由反三角函数的定义域要求可得

解不等式组可得，的定义域为。

13、

。

14、

。

15、2

。

二、选择题

1、选（Ｄ）令，由是上的偶函数，是上的奇函数，。

2、选（Ｃ）

3、选（A）

4、选（Ｂ）

5、选（Ｃ），，

6、选（Ｃ）在（A）中的定义域为，而的定义域为，故不正确

在（B）的值域为，的值域为，故错

在（C）中的定义域为R，的定义域为

，，故错

7、选（Ｄ），

不存在

8、选（Ｄ），

9、选（Ｃ）由函数极限的局部有界性定理知，存在，则必有的某一去心邻域使有界，而在的某一去心邻域有界不一定有存在，例如，函数有界，但在点极限不存在

10、选（Ｃ）

（

11、选（D）（A）、（Ｂ）显然不对，因为有数列极限的不等式性质只能得出数列“当充分大时”的情况，不可能得出“对任意成立”的性质。

（Ｃ）也明显不对，因为“无穷小·无穷大”是未定型，极限可能存在也可能不存在。

12、选（D）

当时函数没有极限，也不是。

三、计算解答

1、计算下列极限：

（1）解：。

（2）解：。

（3）解：。

（4）解：。

（5）解：

。

（6）解：

。

（7）解：

。

（8）解：。

３、解：

。

４、（1）.

而。

（2）先证有界（数学归纳法）

时，

设时，，则

数列有下界，

再证单

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