新高考数学一轮复习讲义 第16讲 导数与函数的极值、最值（原卷版）

第16讲导数与函数的极值、最值（精讲）

题型目录一览

①求函数的极值与极值点

②极值、极值点中的参数问题

③求函数的最值

④最值中的参数问题

⑤函数极值、最值的综合应用

一、知识点梳理

一、知识点梳理

1．函数的极值

函数SKIPIF10在点SKIPIF10附近有定义，如果对SKIPIF10附近的所有点都有SKIPIF10，则称SKIPIF10是函数的一个极大值，记作SKIPIF10．如果对SKIPIF10附近的所有点都有SKIPIF10，则称SKIPIF10是函数的一个极小值，记作SKIPIF10．极大值与极小值统称为极值，称SKIPIF10为极值点．

求可导函数SKIPIF10极值的一般步骤

（1）先确定函数SKIPIF10的定义域；

（2）求导数SKIPIF10；

（3）求方程SKIPIF10的根；

（4）检验SKIPIF10在方程SKIPIF10的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数SKIPIF10在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数SKIPIF10在这个根处取得极小值.

注①可导函数SKIPIF10在点SKIPIF10处取得极值的充要条件是：SKIPIF10是导函数的变号零点，即SKIPIF10，且在SKIPIF10左侧与右侧，SKIPIF10的符号导号.

②SKIPIF10是SKIPIF10为极值点的既不充分也不必要条件，如SKIPIF10，SKIPIF10，但SKIPIF10不是极值点.另外，极值点也可以是不可导的，如函数SKIPIF10，在极小值点SKIPIF10是不可导的，于是有如下结论：SKIPIF10为可导函数SKIPIF10的极值点SKIPIF10；但SKIPIF10为SKIPIF10的极值点.

2．函数的最值

函数SKIPIF10最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数SKIPIF10最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者．

一般地，设SKIPIF10是定义在SKIPIF10上的函数，SKIPIF10在SKIPIF10内有导数，求函数SKIPIF10在SKIPIF10上的最大值与最小值可分为两步进行：

（1）求SKIPIF10在SKIPIF10内的极值（极大值或极小值）；

（2）将SKIPIF10的各极值与SKIPIF10和SKIPIF10比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．

注：①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；

②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；

③函数的最值必在极值点或区间端点处取得.

【常用结论】

（1）若函数SKIPIF10在区间D上存在最小值SKIPIF10和最大值SKIPIF10，则

不等式SKIPIF10在区间D上恒成立SKIPIF10；

不等式SKIPIF10在区间D上恒成立SKIPIF10

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