新高考数学一轮复习讲义 第07讲 函数的基本性质Ⅰ-单调性与最值（含解析）

第07讲函数的基本性质Ⅰ-单调性与最值（精讲）

题型目录一览

①函数单调性的判断与证明

②求函数的单调区间

③复合函数的单调性

④函数单调性的应用

⑤函数的最值（值域）

★【文末附录-函数的单调性与最值思维导图】

一、知识点梳理

一、知识点梳理

1.函数的单调性

（1）增函数：若对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量、，当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数；

（2）减函数：若对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量、，当时，都有

，那么就说函数在区间上是减函数.

（3）【特别提醒】

①单调区间只能用区间表示，不能用不等式或集合表示．

②有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连接．

2.函数的最值

（1）最大值：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：

=1\*GB3①对于任意的，都有；=2\*GB3②存在，使得.

那么，我们称是函数的最大值.

（2）最小值：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：

=1\*GB3①对于任意的，都有；=2\*GB3②存在，使得.

那么，我们称是函数的最小值.

（3）函数最值存在的两个结论

①闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．②开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．

【常用结论】

1.?x1，x2∈D(x1≠x2)，SKIPIF10?f(x)在D上是增函数；SKIPIF10?f(x)在D上是减函数．

2.对勾函数y＝SKIPIF10(a＞0)的增区间为(－∞，－SKIPIF10]和[SKIPIF10，＋∞)，减区间为[－SKIPIF10，0)和(0，SKIPIF10]．

3.当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)是增(减)函数．

4.若k＞0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k＜0，则kf(x)与f(x)的单调性相反．

5.函数y＝f(x)在公共定义域内与y＝SKIPIF10的单调性相反．

6.复合函数y＝f[g(x)]的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性关系是“同增异减”．

二、题型分类精讲

二、题型分类精讲

题型一函数单调性的判断与证明

策略方法1.定义法证明函数单调性的步骤

2.判断函数单调性的四种方法

(1)图象法；(2)性质法；(3)导数法；(4)定义法．

3.证明函数单调性的两种方法

(1)定义法；(2)导数法．

【典例1】设函数SKIPIF10，指出SKIPIF10在SKIPIF10上的单调性，并证明你的结论．

【答案】SKIPIF10在SKIPIF10上单调递增，证明见解析

【分析】设定义域内SKIPIF10，再计算SKIPIF10的正负判断即可.

【详解】SKIPIF10在SKIPIF10上单调递增，证明如下：

SKIPIF10，取SKIPIF10，则

SKIPIF10SKIPIF10.

因为SKIPIF10，则SKIPIF10，SKIPIF10，得

SKIPIF10，所以，SKIPIF10在SKIPIF10上单调递增.

【题型训练】

一、单选题

1．设函数SKIPIF10满足：对任意的SKIPIF10都有SKIPIF10，则SKIPIF10与SKIPIF10大小关系是（????）

A．SKIPIF10 B．SKIPIF10

C．SKIPIF10 D．SKIPIF10

【答案】A

【分析】根据已知条件确定函数的单调性，进而比较函数值大小即可.

【详解】因为SKIPIF10，当SKIPIF10时SKIPIF10；当SKIP

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