第3节　随机事件与古典概型

第3节随机事件与古典概型

[课程标准要求]

1理解样本点、有限样本空间的含义以及随机事件与样本点的关系

2了解随机事件的并、交与互斥的含义

3理解概率的性质,会用频率估计概率,掌握随机事件概率的运算法则

4理解古典概型,能利用古典概型计算简单随机事件的概率

1样本空间和随机事件

样本点和

有限样本

空间

随机试验

对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验,简称试验,常用字母E表示

有限样

本空间

把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点,全体样本点的集合称为试验E的样本空间一般地,我们用Ω表示样本空间,用ω表示样本点如果一个随机试验有n个可能结果ω1,ω2,…,ωn,则称样本空间Ω={ω1,ω2,…,ωn}为有限样本空间

随机事件

定义

样本空间Ω的子集称为随机事件,简称事件,并把只包含一个样本点的事件称为基本事件

表示

大写字母A,B,,…

随机事件

的极端

情形

必然事件、不可能事件

2事件之间的关系与运算

定义

表示法

图示

一般地,若事件A发生,则事件B一定发生,我们就称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)

B?A

(或

A?B)

一般地,事件A与事件B至少有一个发生,称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)

A∪B

(或

A+B)

一般地,事件A与事件B同时发生,称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)

A∩B

(或AB)

一般地,如果事件A与事件B不能同时发生,则称事件A与事件B互斥(或互不相容)

若A∩

B=,

则A与

B互斥

一般地,如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生,称事件A与事件B互为对立,事件A的对立事件记为A

若A∩

B=,

且A∪

B=Ω,

则A与

B对立

互斥事件不一定是对立事件,但是对立事件一定是互斥事件

3频率与概率

频率的稳定性

一般地,随着试验次数n的增大,频率偏离概率的幅度会缩小,即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A),我们称频率的这个性质为频率的稳定性

频率稳定性的作用

可以用频率fn(A)估计概率P(A)

概率是一个常数,是一个理论值,不随试验次数的变化而变化,而频率是一个试验值,随着试验次数的改变而改变,是一个变量

4概率的基本性质

(1)性质1对任意的事件A,都有P(A)≥0

(2)性质2必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(Ω)=1,P()=0

(3)性质3如果事件A与事件B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B)

(4)性质4如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B)

(5)性质5如果A?B,那么P(A)≤P(B)

(6)性质6设A,B是一个随机试验中的两个事件,我们有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)

(1)概率的一般加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)中,易忽视只有当A∩B=,即A,B互斥时,才有P(A∪B)=P(A)+P(B),此时P(A∩B)=0

(2)当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时,要用到概率加法公式的推广,即P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)

5古典概型

特征

有限性

样本空间的样本点只有有限个

等可能性

每个样本点发生的可能性相等

计算

公式

一般地,设试验E是古典概型,样本空间Ω包含n个样本点,事件A包含其中的个样本点,则定义事件A的概率P(A)=kn=

1在一次抛硬币的试验中,某同用一枚质地均匀的硬币做了100次试验,发现正面朝上出现了40次,那么出现正面朝上的频率和概率分别为()

A04,04 B05,05

04,05 D05,04

解析某同用一枚质地均匀的硬币做了100次试验,正面朝上出现了40次,所以出现正面朝上的频率为40100=04,因为每次抛硬币时,正面朝上和反面朝上的机会相等,都是05,所以出现正面朝上的概率是0

2根据多年气象统计资料,某地在夏至当日下雨的概率为045,阴天的概率为020,则该地在夏至当日为晴天的概率为()

A065 B055 035 D075

解析某地在夏至当日下雨的概率为045,阴天的概率为020,则该地在夏至当日为晴天的概率为P=1-045-020=035

3袋中装有大小和材质均相同的红球4个、黄球2个、白球1个,从中随机取出一个球,记事件A为“取出的是红球”,事件B为“取出的是黄球”,则下列关于事件A和事件B的关系说法正确的是(D)

A不互斥但对立 B不互斥也不对立

互斥且对立 D互斥但不对立

解析由于取出1个球不能既是红球又是黄球,故A与B不能同时发生,A,B互斥,

又因为袋中还有白球,故A与B互斥但不对立

4同时抛掷三枚均匀的硬币,出现一枚正面,二枚反面的概率等于?

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