1999年全国硕士硕士入学统一考试数学三试题
一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分。把答案填在题中横线上。)
(1)设有一个原函数，则
(2)
(3)设，而为整数，则
(4)在天平上反复称量一重为物品，假设各次称量结果互相独立且同服从正态分布
.若以表达次称量结果算术平均值，则为使，
最小值应大于自然数
(5)设随机变量独立同分布，，则行列式
数学盼望
二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分。每小题给出得四个选项中，只有一个是符合题目规定，把所选项前字母填在提后括号内。)
(1)设是连续函数，是原函数，则()
(A)当是奇函数时，必是偶函数。
(B)当是偶函数时，必是奇函数。
(C)当是周期函数时，必是周期函数。
(D)当是单调增函数时，必是单调增函数。
(2)设连续，且，其中是由所围成区域，则等于()
(A)(B)(C)(D)
(3)设向量可由向量组线性表达，但不能由向量组(Ⅰ)线性表达，记向量组(Ⅱ)，则()
(A)不能由(I)线性表达，也不能由(Ⅱ)线性表达。
(B)不能由(I)线性表达，但可由(Ⅱ)线性表达。
(C)可由(I)线性表达，也可由(Ⅱ)线性表达。
(D)可由(I)线性表达，但不可由(Ⅱ)线性表达。
(4)设为阶矩阵，且和相同，为阶单位矩阵，则()
(A)(B)和有相同特性值和特性向量.
(C)和所有相同于一个对角矩阵.(D)对任意常数，和相同.
(5)设随机变量，且满足，则等于()
(A)0.(B).(C).(D)1.
三、(本题满分6分)
曲线切线和轴和轴围成一个图形，记切点横坐标为，试求切线方程和这个图形面积，当切点沿曲线趋于无穷远时，该面积变换趋势如何？
四、(本题满分7分)
计算二重积分，其中是由直线和曲线所围成平面区域。
五、(本题满分6分)
设生产某种产品必需投入两种要素，和分别为两要素投入量，为产出量；若生产函数为，其中为正常数，且.假设两种要素价格分别为和，试问：当产出量为12时，两要素各投入多少可以使得投入总费用最小？
六、(本题满分6分)
设有微分方程，其中
试求:在内连续函数，使之在和内所有满足所给方程，且满足条件.
七、(本题满分6分)
设函数连续，且.已知，求值.
八、(本题满分7分)
设函数在区间上连续，在内可导，且.
试证：(1)存在，使；
(2)对任意实数，必存在，使得.
九、(本题满分9分)
设矩阵，且.又设随着矩阵有特性值，属于特性向量为，求及值.
十、(本题满分7分)
设为实矩阵，为阶单位矩阵.已知矩阵，试证：当初，矩阵为正定矩阵.
十一、(本题满分9分)
假设二维随机变量在矩形上服从均匀分布.记
，
(1)求和联合分布；(2)求和相关系数.
十二、(本题满分7分)
设是来自正态总体简朴随机样本，，，，，证实记录量服从自由度为2分布.
1999年全国硕士硕士入学统一考试数学三试题解析
一、填空题
(1)【答案】
【详解】由题设可知.由分部积分法，得
(2)【答案】4
【详解】考虑幂级数，由可知，该幂级数收敛半径为1，收敛区间为，则.记，两边从到积分，得
所以
所以
(3)【答案】
【详解】，依据矩阵乘法，和数和矩阵相乘，矩阵每一个元素所有要乘以该数，有
故有
或由，式子左右两端同右乘，得，即，得
或由，式子左右两端同右乘，得，式子左右两端再同乘，得，…，依次类推，得
所以
(4)【答案】
【概念和性质】(1)独立正态随机变量性质：服从正态分布独立随机变量线性组合仍服从正态分布；
(2)盼望性质：，(其中为常数)；
(3)方差性质:；若独立，则
(4)正态分布标准化：若，则
【详解】由题知：，，且互相独立，故，其中，
所以
所以，标准化得
则只需将中大括号里不等式两端同除以标准差，即有：
因，查标准正态分布表知
所以，解得.由于整数，所以最小为16.
(5)【答案】
【概念和性质】(1)；(2)若独立，则有
【详解】由行列式定义知，行列式是由个元素乘积组成项和式，每一项所有是个元素乘积，这个元素取自行列式中不同样行和不同样列，在这所有项中每项所有带有正号或负号.
由于随机变量独立，所以有
所以前面不管取正号或负号，对和式盼望等于各项盼望之和.即有
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