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第九讲-对数运算与对数函数
知识点一、对数的概念
1、对数的概念
一般地，如果的次幂等于，即，那么数叫作以为底的对数，记作.其中叫作对数的底数，叫作真数．[例如]
★特别的：规定,且的原因：
①当时，取某些值时，的值不存在，如：是不存在的.
②当时，当时，的值不存在，如：是不成立的；当时，则的取值时任意的，不是唯一的.
③当时，当，则的值不存在；当时，则的取值时任意的，不是唯一的.
2、常用对数与自然对数
①常用对数：将以10为底的对数叫做常用对数,并把记为
②自然对数：是一个重要的常数,是无理数,它的近似值为2.71828.把以为底的对数称为自然对数,并把记作
说明：“”同+、-、×等符号一样,表示一种运算,即已知一个底数和它的幂求指数的运算,这种运算叫对数运算,不过对数运算的符号写在数的前面.
3、对数与指数的关系
一般地，对数与指数的关系如下：若，则?.
4、对数的性质
(1)1的对数为零，即；
(2)底的对数为1，即；
(3)零和负数没有对数．即中真数
知识点二、对数的运算
1、对数运算性质：
当时：
（1）；
（2）；
（3）.另外：
2、换底公式：.
3、倒数关系：.即
4、对数恒等式：.
题型一、对数概念的认识
【典型例题】
1、使有意义的实数的取值范围是（）
A． B．
C． D．
【答案】C
由题意知，解得，所以实数a的取值范围是．
故选：C.
【变式练习】
1、(多选)下列说法正确的有（）
A．零和负数没有对数
B．任何一个指数式都可以化成对数式
C．以为底的对数叫做常用对数
D．以为底的对数叫做自然对数
【答案】ACD
【解析】由对数的定义可知A,C,D正确；
对B，当且时，才能化为对数式.故选：ACD.
2、代数式有意义时，求的取值范围．
【答案】
【解析】由题意可得
解得．
题型二、指数式与对数式的互化
【典型例题】
1、将下列指数式与对数式互化.
(1)；(2)；
(3)；(4).
【答案】(1).(2).(3).(4).
【解析】因为由可得，所以
(1)由可得；
(2)由可得；
由可得，所以
(3)由可得；
(4)由可得.
【变式练习】
1、将下列指数式写成对数式：
(1)；(2)；(3)；(4)
【答案】(1)；(2)；(3)；(4)
【解析】(1)因为，所以.
(2)因为，所以.
(3)因为，所以.
(4)因为，所以.
2、将下列对数式改为指数式：
(1)，指数式为__________；
(2)，指数式为__________；
(3)，指数式为__________；
(4)，指数式为____________.
【答案】
【解析】由于，所以：
(1)，指数式为；
(2)，指数式为；
(3)，指数式为；
(4)，指数式为
故答案为：；；；.
题型三、对数式求值
【典型例题】
1、求下列各式中的值：
(1)；(2)；
(3)；(4).
【答案】(1)；(2)；(3)2；(4)
【解析】(1)因为所以.
(2)因为,所以.又所以
(3)因为所以于是
(4)因为所以于是
【变式练习】
1、求下列各式中的值
（1）；（2）；（3）；（4）．
【答案】（1）125；（2）；（3）；（4）
【解析】（1）因为，所以；
（2）因为，所以，解得
（3）因为，所以，所以；
（4）因为，所以，所以.
2、求下列各式中的的值
（1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由得，
，解得x＝－2；
（2）由可得，
故，∴x＝＝64.
题型四、指对基本运算与综合应用
【典型例题】
1、计算下列各式
（1）_______.
（2）__________．
（3）______．
【答案】(1)2(2)4(3)
【解析】(1)原式.
故答案为：2.
(2)原式
故答案为4
(3)
=．故答案为:．
2、已知，则等于（???）
A．1 B．2 C．3 D．6
【答案】A
由得：，，
所以，
故选：A
3、若，，则（???????）
B．
C． D．
【答案】D
对于A，由，，得，，所以，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确．
故选：D．
4、若，，则（???????）
A． B． C． D．
【答案】B
.
故选：B
5、已知且，则a的值为（???????）
A． B． C． D．
【答案】C
令，
则，，又，
∴，即，
∴.
故选：C.
6、（多选题）已知，则a，b满足（???????）
A． B． C． D．
【答案】ACD
由，则，则
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