第二章(2)卷积积分

第二章连续系统的时域分析法主讲人：史洪宇卷积的图示第一步，画出与波形，将波形图中的t轴改换成τ轴，分别得到和的波形。第二步，将波形以纵轴为中心轴翻转180°，得到波形。第三步，给定一个t值，将波形沿τ轴平移|t|。在t0时，波形往左移；在t0时，波形往右移。这样就得到了的波形。本节小结1、卷积积分的解析法2、卷积积分的图解法当系统的初始状态为零时，其响应是零状态响应yzs(t)。利用系统的单位冲激响应以及LTI系统的时不变性、比例性以及积分特性，我们可以得到因果系统的零状态响应yzs(t)。根据LTI系统的时不变性，当输入移位τ时，δ(t)→h(t)输出也移位τ，可以得到δ(t-τ)→h(t-τ)根据LTI系统的比例性，当输入乘以强度因子f(τ)时，输出也乘以强度因子f(τ)，又得到f(τ)δ(t-τ)→f(τ)h(t-τ)最后利用LTI系统的积分特性，若输入信号是原信号的积分，输出信号亦是原信号的积分，可以得到该式正是因果系统的零状态响应yzs(t)。我们注意到，这种求解响应的方法与以往求解微分方程不同，故称之为时域法；又由于上式是数学卷积运算的一种形式，因此也称卷积法。当已知f(t)、h(t)时，系统的零状态响应可用上式的卷积计算。卷积计算时，积分变量为τ，t仅是参变量，计算时按常数处理。本章总结1、掌握LTI连续系统的时域分析微分方程经典解；叠加法2、掌握冲激响应和阶跃响应的求解3、掌握卷积积分及其性质0t0t0t0t0t1t0t1t图2.4-4函数与冲积函数的卷积图2.4-50t1t0t2t0t1+t2t0t1t0t1+t2t0t2t图2.4-60t1t0t2t0t1+t2t0t2t0t1t0t1+t2t例2.4-2计算下列卷积积分：解：上式适用于实际上利用推广4上式适用于三、卷积的微分与积分对于任一函数，用符号表示其一阶导数，用符号表示一次积分，即其中：积分：则其导数：若例2.4-4求图示函数与的卷积。解法一：图示法解法一：图示法解法一：图示法解法一：图示法解法一：图示法解法二：表达式法解法三：卷积的性质练习：计算下列卷积积分：零输入响应零状态响应*一般而言，若两个函数，积分称为的卷积积分。用表示。即2.4卷积积分第四步，将f1(τ)和f2(t-τ)相乘，得到卷积积分式中的被积函数f1(τ)f2(t-τ)。第五步，计算乘积信号f1(τ)f2(t-τ)波形与τ轴之间包含的净面积，便是卷积在t时刻的值。第六步，令变量t在(-∞，∞)范围内变化，重复第三、四、五步操作，最终得到卷积信号f1(t)*f2(t)。例1给定信号求y(t)=f1(t)*f2(t)。例2求下图所示函数和的卷积积分。解（1）（2）讨论的取值范围，并计算积分：（3）当时，

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