第八章-拉普拉斯变换

线性性质时移性质S域平移时域尺度变换性质1.线性（Linearity）：Homework8.1(2)8.2(1)8.3(1)8.4(1)8.8(1)(3)(7)8.9(1)例5.的单极点二阶极点则各极点留数为:§8.4常微分方程的拉氏变换解法方法：已知微分方程,对方程两端作单边LT.单边LT微分性质：单边LT法(UnilateralLTmethod)例1:解：对方程作单边LT：所以:作反LT：*补充积分的实质第八章拉普拉斯变换8.1拉普拉斯变换概念8.2拉氏变换的性质8.3拉普拉斯反变换8.4常微分方程问题的拉氏变换解法以傅里叶变换为基础的频域分析方法的优点在于它给出的结果有着清楚的物理意义，即信号由时域变换到频域。不足之处：1、傅里叶变换一般只能处理符合狄利赫里条件的信号。而有些不满足绝对可积条件的信号，其分析受到限制；2、在求时域响应时，运用傅里叶反变换对频率进行的无穷积分求解困难。引入复数自变量，在复频率域、复z域中分析信号和系统，以扩大信号变换的范围。拉普拉斯变换与Ｚ变换的分析方法是傅里叶分析法的推广。3、傅里叶变换一般只能分析稳定的LTI系统。§8.1拉普拉斯变换概念从傅里叶变换（FT）到Laplace变换符合狄里赫利条件能量型信号不符合狄里赫利条件……非周期功率型信号衰减因子两函数相乘收敛，满足狄里赫利条件则拉普拉斯变换的推导乘以x(t)的拉普拉斯变换令则由FT定义:由IFT定义:拉普拉斯反变换拉普拉斯正变换：双边LT单边LT拉普拉斯反变换：Re[s]Im[s]S平面0的拉氏变换就是的傅里叶变换。说明:收敛域：使X(s)存在的?的区域称为收敛域。记为：ROC(regionofconvergence):?=Re[s]?R实际上就是拉氏变换存在的条件。单边拉普拉斯变换收敛域(ROC)1:为保证收敛，要求满足下式，即常用信号的拉普拉斯变换2:利用Euler公式:所以有:3:拉氏变换与傅氏变换一样具有很多重要的性质。这里只着重于ROC的讨论。§8.2拉普拉斯变换的性质共轭性质卷积性质微分和积分初值及终值定理则若当无交集时，表明不存在。2.时域尺度变换（TimeScaling）若则3.时移性质（TimeShifting）:若ROC不变则例2:?第一个周期（0～T)的拉氏变换x(t)Tx1(t)0tTimeshifting例:周期信号的单边拉氏变换等于(0~T)时间内的拉氏变换乘以。4.S域平移（Shiftinginthes-Domain）:表明的ROC是将的ROC平移了一个。这里是指ROC的边界平移。若则例:5.S域微分:（Differentiationinthes-Domain）若则例1:例2:6.时域微分:(DifferentiationintheTimeDomain）证明:7.时域积分:（IntegrationintheTimeDomain）若则8.卷积性质:（ConvolutionProperty）若则例:9.初值与终值定理:如果是因果信号，且在不包含奇异函数，则初值定理:若sX(s)收敛域包含jω轴,则终值定理:时，且在不包含奇异函数。证明:将在展开为Taylor级数有：如果是因果信号，且在不包含奇异函数，则初值定理:对上式两边做拉氏变换：因此当时，是因果信号，且在无奇异函数,证:除了在可以有一阶极点外，其它极点均在S平面的左半平面（即保证有终值），故的ROC中必包含轴。终值定理:例例roots([1,4,14,20])ans=-1.0000+3.0000i-1.0000-3.0000i-2.0000§8.3拉普拉斯反变换定义：由若在ROC内，则有:的反变换拉氏反变换的

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