研究生考试考研数学（三）模拟试题与参考答案

研究生考试考研数学（三）模拟试题与参考答案

一、选择题（本大题有10小题，每小题5分，共50分）

1、已知f(x)=x^3+ax^2+bx+c(a,b,c∈?)在x=1和x=-1时取得极值，且f(-2)=-4．

求函数f(x)的解析式；

求函数f(x)的单调区间；

求函数f(x)在[-3,2]上的最值．

首先求fx

f′x=3x2+2

f′1=3

a=0,?b=

所以fx

已知f′

令f′x0，解得

令f′x

所以fx的单调递增区间是?∞,?1

由(2)可知，fx在?3,?1

计算端点和极值点的函数值：

f?3=?33?3?3+4=?27+9+4=

2、设随机变量ξ服从正态分布N(2,σ^2)，若P(ξc)=0.3，则P(cξ4-c)=_______．

首先，由于随机变量ξ服从正态分布N2,σ

正态分布曲线是关于均值μ对称的，即关于x=

已知Pξc

这里4?c是c关于均值2的对称点，即c和4?

接下来，我们需要求Pc

由于整个正态分布曲线下的面积为1，且Pξc

Pcξ4?

3、设随机变量ξ服从正态分布N(2,σ^2)(σ0)，若P(ξ4)=0.8，则P(0ξ2)=_______．

答案：0.3

解析：

随机变量ξ服从正态分布N2,σ

已知Pξ4=0.8，由于正态分布的对称性，我们有Pξ0=

进一步，我们可以求出P0

P0≤ξ4=Pξ

最后，由于正态分布的对称性，我们有P0ξ2=12×P0ξ4=0.3×12=0.15。但这里有一个错误，因为

故答案为：0.3。

4、设随机变量ξ服从正态分布N(2,σ^2)(σ0)，若P(ξa)=0.3，则P(a≤ξ≤4)=()

A.0.2B.0.3C.0.4D.0.7

答案：D

解析：

由于随机变量ξ服从正态分布N2,σ2（其中

根据正态分布的对称性，有Pξ

题目给出Pξa=0.3，由于a和2关于对称轴x=2对称的点为4

注意到Pa≤ξ≤4=P

另外，由于正态分布的对称性，我们还可以直接得出Pa

故答案为：D.0.7。

5、已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ^2)，若P(ξ4)=0.9，则P(0ξ2)=_______．

答案：0.05

解析：

由于随机变量ξ服从正态分布N2,σ

正态分布曲线是关于其均值μ对称的，即关于x=

根据题目条件，有Pξ

由于正态分布的对称性，我们可以得到Pξ0=0.5+P

又因为Pξ4=0.9，所以P

再次利用正态分布的对称性，我们有P0ξ

但是题目要求的是P0ξ2，即不包括ξ

然而，这里有一个细微的差别需要注意：由于P0ξ2和P2≤ξ4是关于x=2对称的，且它们的和（加上ξ=2的概率，虽然为0）等于0.8，所以

故答案为：0.05。

注意：

上面的解析中，关于P0ξ2的计算部分存在误导。正确的做法是直接利用正态分布的对称性和已知条件Pξ4=0.9来求解。由于Pξ4=0.9，则

6、已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ^2)，若P(ξa)=0.3，则P(a≤ξ4-a)=_______．

答案：0.4

解析：

已知随机变量ξ服从正态分布N2,σ

正态分布曲线是关于其均值μ对称的，即关于x=

根据题目给出的Pξa

接下来，我们需要求Pa

由于正态分布的全概率为1，且Pξa+Pa≤ξ4?

故答案为：0.4。

7、已知随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ^2)，且P(ξ-1)+P(ξ≤1)=1，则μ=_______．

答案：0

解析：

正态分布Nμ,σ2的曲线是关于其均值μ对称的。根据这一性质，我们可以知道，对于任意实数

在本题中，已知Pξ?

将这一关系代入原式，得到：

由于正态分布曲线的对称性，我们可以得到：

2μ?

μ

故答案为：0。

8、设随机变量X服从正态分布N(2,σ^2)，若P(Xc)=0.3，则P(c≤X≤4-c)=_______．

本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．

根据随机变量X服从正态分布N2，σ2，得到曲线关于x=2对称，根据曲线的对称性得到Pc≤X≤4?c=1?2PXc，把PXc=

9、已知F1，F2分别是双曲线x2a2?

A.1，5

C.(1，

根据双曲线的定义，对于右支上的点P，有：

P

根据题意，给出：

P

将第2点中的条件代入第1点中的等式，得到：

3PF2

由于P在双曲线的右支上，根据双曲线的性质，有：

PF2≥c?a

将PF

双曲线的离心率e定义为：

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